중간체 E의 개수를 구하기위해 G(K/Q(u^4))의 부분군의 개수를 구하려고 G(K/Q(u^4))를 알아보려고 하였습니다.
[Q(u^4):Q]=2 가 되거나 4가 되어야 하는것을 확인했습니다.
[Q(u^4):Q]=2이면 G(K/Q(u^4))=A4가 되고
질문 ) [Q(u^4):Q]=4이면 G(K/Q(u^4))는 oreder가 6인 군이 되는데 G(K/Q(u^4))가 어떤 군인지 확실히 정하는게 어렵습니다 (힌트부탁드립니다)
군이 A4이면 Q(u^4)이 정규확대체여야 하는데 그러면 임의의 Q(u^4)의 원소가 기약다항식의 근이면 split 되어야 함을 보여야 G(K/Q(u^4)=A4인데
이걸 보이는 과정이 잘 안됩니다.
S4의 임의의 원소 σ에 대해 σ를 서로소인 치환들의 곱으로 나타낼 때, 곱해진 치환들의 길이의 합이 4여야 하므로 곱해진 꼴이 (a)(b)(c)(d) 또는 (a b)(c)(d) 또는 (a b)(c d)또는 (a b c)(d) 또는 (a b c d) 입니다. 각 경우에 σ의 위수는 lcm(1,1,1,1)=1, lcm(2,1,1)=2, lcm (2,2)=2, lcm(3,1)=3, lcm(4)=4가 되므로 σ의 위수는 6이 될 수 없습니다. 즉 S4는 Z_6을 부분군으로 갖지 않습니다.. 한편 G(K/Q(u^4))는 S4의 부분군과 동형이고, 위수가 6일 땐 위에서 보인 것에 의해 Z_6과 동형이 될 수 없으므로 S3과 동형이 됩니다.
한편 G(K/Q)의 원소 σ에 대해 σ(u^4)=u^4를 만족시키면 σ(u)=u임을 보일 수 있습니다. (즉 G(K/Q(u^4))의 임의의 원소가 u를 고정하므로 G(K/Q(u^4))는 S4의 부분군 중 한 원소를 고정하는 부분군, 즉 S3과 동형이 됩니다.)
이유는 다음과 같습니다. σ(u^4)=u^4가 되면 σ(u)^4=u^4 이므로 σ(u)의 값은 u 또는 -u 또는 ui 또는 -ui가 됩니다. u의 Q위의 모닉 기약다항식을 f=x^4+ax^3+bx^2+cx+d라 하면 1. σ(u)=-u일 때, σ(f(u))=u^4-au^3+bu^2-cu+d=0 이므로 f(u)-σ(f(u))=0-0=2au^3+2cu가 되어 u의 기약다항식이 4차임에 모순 2. σ(u)=ui 또는 -ui일 때 σ^2(u)=-u이므로 위에서 보인 것과 비슷하게 f(u)-σ^2(f(u))=0으로부터 모순입니다.
상세한 답변 감사합니다