w를37th root of unity라 하고 a=w+w^10+w^26이라 했을 때 (K=Q(w)라고 하면)

G(Q(a)/Q)가 어떤 군인지 파악하고 싶은데

이를 파악하려면 a의 Q위의 기약다항식의 차수를 구하면 게임이 끝나는데

질문: 어떻게 차수를 구해야 할지 잘 모르겠습니다. 방법은 G(K/Q)의 원소를 이용해서

a가 기약다항식 f(x)의 근이면 G(K/Q)의 원소에 a를 대입한것도 f(x)의 근임을 이용해서 기약다항식의 차수를 찾아야 합니다.

그래서 제가 시도한것은 w를 w^2으로 보내는 G(K/Q)의 원소 p를 이용해서 p(a) 값을 구해보면

p(a)=w^2+w^20+w^15가 나오고 p(a)도 f(x)의 근이되고 p(p(a))도 f(x)의 근 p(p(a))=w^4+w^3+w^30이 나오고

이런식으로 계속해서 p에 계속 나오는 f(x)의 근들을 대입해서 f(x)의 차수를 구하고 싶은데 언제까지 p에 근들을 대입해야 할지 잘 모르겠습니다.

중간중간 나오는 근들이 같은 값을 가지는지 파악하기도 어려운것 같습니다. 

(힌트 부탁드립니다!)


G(Q(a)/Q)는 G(K/Q)/G(K/Q(a))와 동형이고 G(K/Q)는 Z36과 동형이므로

G(K/Q(a))만 알아내면 G(Q(a)/Q)를 알아낼 수 있습니다.

G(K/Q)는 <sigma>임을 알수 있고 sigma는 w를 w^2으로 보내는 G(K/Q)의 원소