P(A|B)=P(A교집합B)/P(B) 로 정의하고 그러므로,

P(A교집합B)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A) 가 되잖아요?


즉 이말은 A와 B가 동시에 일어날 사건은

P(B)P(A|B) 또는 P(A)P(B|A) 둘 중에 하나만 구하면 알 수 있다는 뜻인데요.



그런데 생각을 하다보니, A와 B 가 동시에 일어날 확률은 A가 일어나고 B가 일어날 확률과 B가 일어나고 A가 일어날 확률의 합이 되어야 하는 거 아닌가 ? 하는 생각이 들었습니다.

즉, P(B)P(A|B)+P(A)P(B|A)=P(A교집합B) 도 뭔가 직관적으로 틀리지 않은거 같은데요.

물론 이렇게 쓰면 2P(A교집합B)=P(A교집합B) 가 되므로

조건부 확률의 정의를 바꿔야 할텐데요.

P(B)P(A|B)=P(B선 교집합 A후)=B가 먼저일어나고 그리고 그 후에 A가 일어날 확률

P(A)P(B|A)=P(A선 교집합 B후)
이런식으로 해서

P(A교집합B)=P(B선 교집합 A후)+P(A선 교집합 B후)


이렇게 하는 겁니다.


여기까지 생각이 이르다 보니 제가 의문을 품는 점과

조건부 확률에서 전제로 두고 있는 가정에서의 차이가 나타났는데요.

저는 a가 일어나고 나서 b가 일어나는 것 즉, P(A선 교집합 B후) 과

반대의 경우 P(B선 교집합 A후) 가 구분될 수 있는 거 아닌가? 하는 입장이고,

조건부 확률의 본래 정의에서의 전제는 이 둘은 사실은 같은 P(A교집합B) 라는 입장 같은데요.

혹시 제 입장 즉 이 둘을 구분할 수 있다는 전제도 타당성이 있는 건가요?

예를 들면 A가 일어나고는 B가 일어날 수 있는데, B가 일어나고는 A 가 일어나는게 불가능해서 이 둘의 시간 순서를 고려해야 하는 경우와 같이요.

아니면 제가 지금 어디선가 오개념을 갖고 있는 건가요?

아, 애초에 확률을 따질 때는 사건의 경우의수/전체 표본공간의 경우의 수 이므로 시간 관념이 없으므로 선후를 따지면 안되는 건가요?

근데 그러면, 만약에 사건의 선후에 따라 위의 예처럼 바뀌게 되는 경우는 어떻게 표현해야 하나요? 이걸 표현하는 학문도 있나요?