[대학교이상] 선형대수학 질문 해답 (스펙트럼 정리 없이)

[익명(eixeinfor875)]

코시 슈바르츠 부등식 오른쪽에 루트 빠짐

선대군 15장 이전 학생용

[익명(eixeinfor875)]

어거지로 조건이 랜덤행렬이고 |E[tr(A^k)]| < C 일때로 가정하면 유용할듯

[수갤러 1(125.133)]

질문 했었는데 답변 주셔서 감사합니다. 저는 최소다항식 이 x^2 -1이어야만 한다는 것을 생각했었는데 부등식만 가지고 보이기 어렵다 생각했습니다

[익명(eixeinfor875)]

그 방식이 직관적이긴 하죠 절댓값이 가장 큰 eigenvalue를 a라 하면 |a|^n |(1 + (a/b)^n + ... )| <= C 라서, |a| 가 1보다 클순없구요 반대로 음의 정수쪽 생각하면 가장 작은 절댓값이 1보다 작을순없구요

[익명(eixeinfor875)]

그래서 절댓값이 모두 1이다 이런식으로 보일수있음 저 위 식에서 뒤쪽괄호가 2n 파워에대해 1~d로 범위가 정해지니 유계인걸 활용하면 됩니다

[익명(eixeinfor875)]

아 최소다항식을 쓰는 방식을 말씀하신거구나

[익명(eixeinfor875)]

고건 저도 안되더라구요

[수갤러 1(125.133)]

답변 감사합니다 답변에 식 적어주신 부분에 b가 A의 다른 a보다 작은 행렬 A의 고유값이라고 이해를 했는데 그러면 lal^nl1+(b/a)^n +…l<C여야 하는 것 아닌가요?? a와 b의 분모 분자 위치 변경 (이유는 TraceA^n을 시그마 하신 것 같아서요)그러면 위의 식에 의해 고유값의 잘대값이 모두 1임을 보이면 A가 실행렬이므로

[수갤러 1(125.133)]

A의 characteristic polynomial은(x-1)^m 곱하기(x-1)^n (m과n은 1보다 크거나 같은 어떤 자연수)이고 이를 통해 A의 minimal polynomial은 (x-1)(x+1) 이라고 할 수 있다.(A가 diagonalizable 하므로) 따라서 A^2=I다 이런식으로 이해했습니다.

[수갤러 1(125.133)]

개인적으로 답변이 좋았던 이유는 답변자 분께서 문제의 관점을 random matrix로 봤다는점(아직 random matrix를 배우진 않았습니다)입니다.저는 댓글에 써주신 방법이 더 이해하기 좋았습니다!

[익명(eixeinfor875)]

아 오타 맞아요 그런데 eigenvalue가 다 구해졌는데 다시 특성방정식으로 돌아가는건 살짝 오버킬 느낌이 있어서 그냥 digonalization 사용해서 계산해보셔도 충분할듯요

[익명(112.152)]

A^2n의 trace가 0보다 크다는 걸 spectral theorem 없이 알 수 있나

[익명(eixeinfor875)]

대칭행렬이라 됨