충분히큰 r에 대해서 반지름이 r인 원위에 두 점이 꼭 존재해서 위의 관계식을 만족하는게 존재함을 보이는 문제인데
어떻게 문제에 접근해야할지 잘 모르겠습니다. le^p(z0)l=le^(a0+a1z0+...+z0^n)l=e^(1/2)r^n임을 보여야하는데
le^(a0+a1z0+...+z0^n)l=e^Re(P(z0))이므로 le^(a0+a1z0+...+z0^n)l=e^(Re(a0+a1z0+...+z0^n))인데 이 값이 e^(1/2)r^n과 같아야 하므로
결국에 Re(a0+a1z0+...+z0^n)=(1/2)r^n임을 보여야 합니다.
질문은 Re(a0+a1z0+...+z0^n)=(1/2)r^n임을 보이는 방법입니다.
수잘갤 선생님들이 어떤 생각을 가지고 있으신지 궁금합니다.
nR을 각 a0 ... a(n-1) 보다 크게 잡아서 z^n 항이 아닌 나머지 항의 기여를 |z| >= R에서 eps 이하로 줄이세요
답변 감사합니다. 입실론 논법이 잘 이해가 안돼서 제 나름대로 이렇게 이해했습니다. 반지름이 R인 원을 잡는데 그 원이 a0와 a1 ... a(n-1)항보다 엄청 나게 크게 잡아서 z^n이라는 친구에게 영향이 전혀 가지않도록 R을 잡으면 n이 홀수일때 z=R에서 값과 z=-R에서의 Re(P(z))값을 생각하면 Re(p(z))도 연속함수이니까 중간값 성질에 의해 R과 -R사이의 어떤 두점 z0 와 z1이 존재해서 Re(p(z))값이 1/2 r^n와 -1/2 r^n이 되는 것이 있다. 마찬가지로 n이 짝수일때 이와 같이하면 두 점 z0와 z1이 존재함을 알 수 있다. 요약해서 생각해보면 R을 잡을때 최고차항 이외의 계수들이 z^n값에서 더하거나 뺐을 때 영향을 크게 주지 않게 잡고
그렇게 큰 반지름 R에서 Re(p(z))가 연속함수이므로 중간값의 정리를 이용하면 두점이 존재함을 알 수 있다. 이렇게 이해했습니다.
네 코어아이디어는 그냥 반지름 졸라 크게 잡으면 P(z) ~= z^n + r(z) , |r(z)|
|r(z)| < eps 가 되게 할 수 있다는거구요, 짝수차 홀수차 안나눠도 되고 z = 0, z = exp ( j pi / n) 을 넣는게 깔끔합니다
답변이 더 확실히 이해가 됩니다. 감사드립니다.
굳굳 z=0 이 아니라 z=R로 정정
그리고 phi -> Re[f(r e^(i phi))] 를 생각하면 (phi 0부터 2pi) 함숫값이 0일때 1-eps 보다 크고 pi/n 일때 -1 + eps 보다 작음
여기서 r>R
이제 중간값정리를 쓰면 됩니다