질문1: F(z)가 lzl<R에서 analytic임을 보이는 문제에서 f(z) f(z^2) f(z^3) .. 모두 lzl<R에서 analytic인것은 알겠는데(두 analytic 함수의 합성함수이므로), analytic 함수를 무한합 했다고 analytic 하다고 할 수 있나요?? 무한합에 대해서 어떻게 analytic 하다고 보여야 할지 잘 모르겠습니다.
질문2: 슈바르츠 lemma에 의하면 lzl=r에서 f(z)는 ( M을 lzl<R에서 lf(z)l가 M보다 작거나 같다라고 했을때 ) Mlzl/R 보다 작거나 같으므로 (lzl=r에서)
ㅣF(z) l는 ㅣf(z)ㅣ+ㅣf(z^2) l+f(z^3) l +... 보다 작거나 같다
따라서 ㅣF(z) ㅣ는 (lzl=r<R에서) Mlzl/R+Mlz^2l/R+Mlz^3l/R+...보다 작거나 같다는 것을 알 수 있는데
이식으로부터 어떻게 lF(z)l가 r/(1-r)보다 작거나 같음을 유도할 수 있는지 잘 모르겠습니다.
1은 모레라의 정리를 쓰면 됩니다 적분과 극한의 교환은 LDCT를 쓰던지 uniform convergence를 쓰든지 하시면 되고 F(z) = sum_k a_k 1/(1-z^k) 겠죠 다만 적분과
맨아래 무시
모레라 정리에 의해 F(z)를 임의의 닫힌곡선에서 적분하면 0이므로 해석적이다. 이렇게 이해했습니다. 도움주셔서 감사합니다!
굳굳입니다
2번은 좀 이상함 f에 2배하면 F가 두배인데 다른 조건없이 저렇게 유계인게 말이안됨