[일반] 행렬에서 일차독립 일차종속 중요한 개념임??

[햄스터들의두목(qhrh1)]

솔직히 내가 수학을 깊게 쓰는 그런 분야는 아니라

머 수학을 쓰긴 쓰는데 .. 약간 결과적으로 어떻게 공식을 쓰고 뭐 그런게 더 중요한 거 같음. 수학 그 자체보다는 그냥 마치 도구배우듯..?

쨋든

지금 행렬 까먹어서 다시보는데 일차독립 종속 이 부분이

이게 첨에도 그렇고 다시봐도 좀 어려워

뭐라해야되나 감이 안 온다해야하나

뭐가 독립이면 자명한 해를 갖는다라던가 

그냥 그런 말들이 잘 와닿지가 않음 

[익명(eixeinfor875)]

인공지능이면 넌 나가라

[햄스터들의두목(qhrh1)]

[익명(eixeinfor875)]

매우매우 중요한 개념이고 벡터공간에 대한 이해가없으면 행렬로 아무것도할수없음

[익명(eixeinfor875)]

다른 공학 경제학 통계학은 말할거도없고

[햄스터들의두목(qhrh1)]

[익명(221.154)]

가장 근간이 되는 개념인데 당연 중요하지 그냥 직관적으로 다 받아들여질 수 있는 개념임 우선 일차종속은 하나의 성분이라도 다른 성분들의 일차결합으로 나타내지면 일차종속임 일차독립은 전부 서로가 서로의 일차결합으로 안 나타지는 그런 상태를 의미하고 이게 자명해 어쩌고로 연결되는 이유는 행렬곱을 전개해보면 결국 연립일차방정식을 풀어야하는데 만약 어느 성분에 대응하는 식 하나가 다른 성분들의 일차결합으로 표현된다면 그 식은 소거가 가능할거고 따라서 처음 예상한것보다 식이 1개 모자라게 됨 나머지는 스스로 생각해보셈

[수갤러 1(222.112)]

중복제거느낌임. 그래서 연립방정식풀때 계산량을 줄이게됨. 다른 식들의 일차결합으로 표현될텐에 왜 들고있냐이런느낌

[익명(211.234)]

종속이면 가우스소거법 ㅈㄴ 썼을때 행의 모든 원소가 0인 행이 존재하게 돼서 방정식 해 구할때 편해짐 독립이면 이게 불가능한거고

[Affine(algebra500)]

'2차원 벡터 두개만 말해봐' 했을때 (1,1), (2,2) 이딴식으로 말하는놈이 있으면 좀 짜증날거같지않음? 아니 방향 똑같은데 스케일만 다르게해서 보여주는거잖음. 말하자면 삼각형 두개그랴봐 했는데 닮은 삼각형 두개 그리는거랑 비슷한거지. 아니 삼각형ㄴ 존나많은데 왜 굳이 닮은 심각형 두개그리냐고 다양하게 안그리고

[Affine(algebra500)]

벡터도 똑같은거임. 다양한 벡터를 제시하려면 (1,1) 을 부른 뒤엔 (t,t) 꼴과 벡터는 좀 지양해야지. (1,0) 이나 (2,3) 이나 이런애들을 불러줘야할거아냐. 지금 내야 방금 말한 '다양한' 벡터를 제시하라는게 결국 독립인 벡터들을 제시하라는 이야기임

[Affine(algebra500)]

왜 굳이 독립인 벡터들을 찾느냐? 종속이면 안되냐? 종속이란건 "중복인" 벡터가 끼어있다는거야 가령 v=(1,0,0), w=(0,1,0) 라고 치면 v와 w의 선향결합으로 xv+yw=(x,y,0) 이렇게 z=0 인 모든 벡터들을 이미 다 표현할 수 있음. 만약 여기다 (2,3,0) 같은 벡터를 또 가져온단건 존나중복인 벡터를 굳이 가져오는거고 이런 중복인 벡터를 우리는 종속벡터라고 함. 하지만 우리는 '다양한' 벡터를 원한단말이야? 실제로 v w 는 충분히 다양성을 가진 pc한 벡터들이 아니기때문에 (0,0,1) 같은 소수자벡터를 나타내지 못하고 있음. z방향 성분이 부족한거지. 그럼 뭐 (0,0,1) 을 추가해줘도 좋고 (2,3,1) 을 추가해도 좋겠지. 그런 벡터는 당연히 종속이 아닌 독립일거임.

[Affine(algebra500)]

독립이란 말이 중요한 이유는, 독립벡터들을 이용해서 기저를 만들기 때문임. 가령 [a b ] [x] [c d ] [y] 이런 2x2 행렬과 2x1 행렬의 곱을 생각해본다면 행렬의 전치 tr에 대해 x[a,c]^tr + y[b d]^tr 과 같단말임? 즉, 두 벡터 (a,c), (b,d) 의 선형결합이지.

[Affine(algebra500)]

[a b] [x] [c d] [y] = AX 라는 선형시스템을 생각했을 때 AX=0 이라는 해가 X=0 으로 유일하게 존재하느냐? 라는 질문을 했다 치자. 방금 말했듯 AX는 A의 열벡터의 선형결합이므로, 만약 A의 열벡터가 종속이라면 X=0 말고도 다른 해가 존재할거임 예를들어

[Affine(algebra500)]

[ 1 2 ] [x] [ 1 2 ] [y] 라면 당연히 열벡터 (1,1), (2,2) 가 종속이니 다음과 같은 관계를 가지고 x(1,1)+y(2,2)=0 x=-2t y=t 따라서 AX=0 의 해는 X= t [-2 1]^tr 이 되겠지. 해가 유일하지 않다는 말임. 왜 유일하지 않았음? 열벡터가 종속이니까.

[Affine(algebra500)]

더 나아가서, 임의의 b에 대하야 AX=b 의 해가 언제나 존재하느냐? 라는 질문은, A 열벡터의 선형결합으로 임의의 2차원벡터를 나타낼 수 있느냐는 질문이 됨.

[Affine(algebra500)]

앞서 말한 두가지. 해가 유일하냐? 항상 해가 존재하느냐? 는 각각 A의 열벡터가 독립이냐? A의 열벡터가 R² 전체를 span하느냐? 라는 질문과 정확히 같은 질문이고, 또한 A라는 행렬을, X->AX 로 대응시키는 하나의 함수로 바라볼수만 있다면, 위 질문은 또다시 A가 단사함수이냐? 전사함수이냐? 라는 질문이 됨.

[Affine(algebra500)]

AX=b 를 푸는 가장 쉬운방법은 A의 역행렬을 곱하는거지. 만약 A가 역행렬을 가진다면 말이야. 고딩때 배웠다시피 함수가 전단사함수(일대일대응) 이면 역함수가 존재하지? 행렬도 똑같음. 그래서 A의 역행렬이 존재하는지가 궁금하다면 반드시 두가지 의문을 가질 수 밖에 없음. 열벡터가 독립인지(단사함수), 주어진 공간 전체를 span하는지(전사함수) 그래서 선형시스템의 해 존재성, 유일성이랑 종속/독립 얘기가 자꾸 엮여서 튀어나오는거임.

[햄스터들의두목(qhrh1)]

오..쭉 보니까 좀 알거같음요.. 님 설명에 더해서 더공부하면 와닿을거같음 감사요 ㅠㅠ