특히
"무한체" 위에서 정의된
벡터의 개수가 유한하지 않은 벡터공간이
총 basis의 개수가 유한할수있나요?
예를들어 Z_2위에서 정의된 {0_v,v} 벡터공간은
basis가 {v} 하나뿐이고,
유리수체위에서 정의된 {0_v} 벡터공간은
무한체에서정의됐지만 벡터의 개수가 유한하여
basis가 {0_v} 하나뿐.
이런상황에서
"무한체" 위에서 정의되면서
"벡터의 개수가 무한히 많은"
벡터공간의 basis의 개수가 유한할 수 있는 지 궁금합니다.
만약 반드시 이경우 basis의 개수가 무한할 수밖에 없다면
그 증명이 궁금합니다.
- dc official App
걍 임의의 basis의 한 원소에 스칼라곱만 줘도 무한인데?
임의의 벡터 v에 대한 0이아닌 스칼라곱 c*v가 모두 v로 동일한 경우가 있잖아요 - dc App
근데이러면 제로벡터스페이스가돼버리니 (-1)v 만은 v랑 다른벡터로 해버리면. 되지않을까요 - dc App
근데 또 이러면, basis의 임의의원소v를 모두 -v로 대체가능하니 무한차원일때는 반드시 basis개수가 무한해지겟네요. 그렇지만 유한차원에대해서는 아직 basis개수가 무한할지 확인이 안되어서요 - dc App
0이 아닌 벡터에 1이 아닌 스칼라를 곱하면 무조건 벡터가 변함
c*v랑 v가 같다는게 무슨 의미인지 알아?
c_F+(-1)_F가 0_F가 되는것아닌가요 - dc App
v가 제로벡터가 아닐때 - dc App
아근데 field axiom때문에 역원이유일하게존재해야해서 무한체고, 벡터가무한하면 basis에 그 역원c가아닌 c들만 무한히곱해주면 무한히바꿔지는군요. 이해했습니다 - dc App
더불어서 무한체위에서정의된 벡터공간이 벡터개수가 유한한 경우는 제로벡터스페이스밖에없다는 것도 알 수있겠네요. - dc App
없음. 증명도 어렵진 않은데 일단 0이 아닌 벡터 v하나를 가져오면 {v}는 항상 일차독립이 되요, 그리고 일차독립인 부분집합이 있으면 이걸 항상 basis로 확장 가능하다는 정리가 있어요. 이 정리를 쓰면 {c*v}에 대해 c를 바꿔가면서 basis를 무한히 많이 만들 수 있어요.