[일반] Universal property가 뭐임?

[익명(211.177)]

카테고리쪽에 나오는 개념인거같은데

요리보고 조리봐도 알수없음

[wlltmprdclvr7(wlltmprdclvr7)]

선형대수에서 V->W라는 맵에서 V의 기저를 어디로 보내는지만 알면 그걸 V로 확장한 유일한 리니어 맵이 존재하잖아 그거랑 비슷한거임

[익명(211.177)]

그래서 그게 뭔지 이해가 안감... 정의 읽어봐도 정의 자체는 이해가 되는데 이게 왜 Universal property라는 이름이 붙었는지도 그래서 이게 뭐하는 건지도 모르겠음

[wlltmprdclvr7(wlltmprdclvr7)]

나도 왜 그런 이름이 붙었는지는 모르겠지만.. 난 free module 공부할 때 꽤 나왔던 기억이 있음 나도 그거 이상으론 모르겟다

[익명(211.177)]

그러면 저 개념 사용하는 구체적인 예 좀 들어줄 수 있냐

[wlltmprdclvr7(wlltmprdclvr7)]

텐서 프로덕트 할 때 나온 기억 나는데.. 영문위키 텐서 프로닥트 항목에 universal property에 대한게 있음

[익명(125.177)]

universal quantifier(for all~ )가 쓰여지는 property라서 그런듯 : 모든 ~에 대하여 ㅁㅁ을 만족하는 유일한 맵이 존재한다

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Universal_property

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

나도 잘 아는건 아니지만, 보통 ~를 만족하는 XX는 특정 X와 equivalent하다 or mapping이 존재한다 정도로 많이씀. 그리고 이런식으로 정의하면 보다 보편적인 관점에서 볼 수 있음

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

예를들면 집합이나 공간의 product의 경우 유한차원일 경우는 순서쌍으로 생각할 수 있지만, 이것들을 universal property로 정의할 수 있고 기존의 set theory등에서의 정의와 일치함. 또 morphism등을 고려할 수 있기 때문에 단순 집합의 원소뿐만 아니라 공간의 구조자체도 자연스럽게 정의/관찰할 수 있음

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

또 익숙한 정의들을 universal property로만 생각할 수도 있음. 예로 자연수는 0포함, 귀납법을 포함하는 가장 작은 집합으로 정의해도 됨. 실수는 archimedian complete ordered field라고하면 끝이고. 이런 성질들을 만족하면 서로 (원하는 성질의)bijection등이 존재해서 사실상 모두 '같다'는게 universal인듯

[익명(114.30)]

우주적인 재산

[익명(39.7)]

걍 걔만 알아도 우리가 요구하는 성질을 가지는 애들을 다 처리하고도 남는 것

[익명(125.177)]

카테고리 창시한 MacLane 책 보면 universal 관련해서 젤 처음 나오는 문구가..are "universal" among pairs of functors.. 라는 말임. universal arrow , coniversal 이라는 말도 나옴. universal은 '일반적인'이라는 뜻이 아니라 (co)limit, 극한적인, 이라는 의미로 처음 소개됨

[ns(qwer2357)]

Category란게 우리가 어떤 대상과 함수들만 생각할지를 정하는건데, 어떤 대상 A가 initial object란건 그 카테고리에 있는 모든 object X에 대해 Mor(A,X)의 원소가 하나일때를 말함. 거꾸로 어떤 B가 terminal object란건

[ns(qwer2357)]

Mor(X,B)의 원소가 하나일때를 말함. 즉 임의의 카테고리의 objext X를 가져왔을때 X에서 B로 가는 map이 존재하고, 그게 유일하면, 그걸 terminal object라고 부름. 마지막으로 initial object와 terminal object를 힙쳐서 universal object라 부르고 그런류의 성질을 universal property라 부름

[ns(qwer2357)]

쉬운 예로 들면 집합이 object고 그 사이 함수가 morphism이면 원소가 하나인 집합들이 terminal object가 되

[ns(qwer2357)]

고, 공집합과, 공집합에서 가는 유일한 empty map이란게 존재한다고 믿으면 공집합이 initial object가 됨.

[ns(qwer2357)]

앞서 Tensor product of V and W를 생각하면, object가 VxW에서 L로 가는 bilinear map이고, object 사이의 morphism은 VxW에서 L로가는 bilinear, M으로 가는 bilinear가 있을때 L에서 M으로 가는 linear map들이 morphism일때 그 category의 initial object가 tensor product가 됨

[ns(qwer2357)]

위에 정정 그 morphism들이 diagram을 commute하게 하면...

[기괴공학도(mecheng98)]

[익명(211.177)]

이해가 될 거 같기도 안 될거 같기도... 일단 답변주신 분들 감사