카테고리 기본 정의는 알고있음을 가정함


카테고리 C의 object X가 initial object라 함은 다음을 말함

임의의 object Y에 대해서 X에서 Y로 가는 morphism이 딱 1개 존재할때, X를 C의 initial object라고 함

이를 랭 대수 챕터1에서는 universally repelling이라고 소개함


initial object에 대한 dual은 terminal object라고 함. initial object 정의에서 화살표 방향만 뒤집으면 terminal object가 됨

다시 말해서, 임의의 object Y에 대해서 Y에서 X로 가는 morphism이 딱 1개 존재하면, X를 C의 terminal object라고 하는거임

랭 대수에서는 이를 universally attracting이라고 소개함


universally repelling, universally attracting이라는 terminology를 따라서

논의의 대상이 어떤 카테고리에서 initial 혹은 terminal object면 대충 universal property를 갖는다고 말함

그 정확한 의미에 대해서는 청자/독자가 맥락상 파악하도록 함



카테고리 Set에서의 카테시안곱을 예로 들어봄 


집합 A, B가 주어졌고, C가 임의의 집합이라 하자

A, B의 카테시안곱 AxB에서 A, B로 가는 projection을 각자 p, q라고 하자


함수 f: C→A, g: C→B가 주어졌을때, 다음 diagram을 commutative하게 만드는 h: C→AxB가 유일하게 존재함




위 현상에 대해서 이렇게 설명할수가 있음



Set과 주어진 A, B로부터 새로운 카테고리 D를 정의할거임

D의 object들은 triple (X, f, g) where X is set, f:X→A, g:X→B

D의 morphism φ:(X, f, g)→(Y, h, i)는 다음 diagram을 commutative하게 하는 φ:X→Y



이 새로운 카테고리 D에서의 terminal object가 바로 (AxB, p, q)


그래서 이를 AxB together with projection p, q가 universal property를 갖는다고 말함