러프하게 말하면

limsup an + limsup bn < limsup (an+bn)으로 가정하면 적당한 subsequence가 존재해서 


limsup an + limsup bn < lim(an i+bn i) =< limsup (an+bn) 가 되는데 


(an i + bn i)에서 an i, bn i > 0인 항이 무한히 있거나 an i, bn i < 0인 항이 무한히 있으면 애초에 (an i + bn i)가 수렴하니까 그냥 an i, bn i > 0또는 an i, bn i < 0인 것만 다시 모아서 subsequence를 잡아주면 원래 (an i + bn i)과 극한값은 같음. 이걸 인덱스를 i'이라 쓸게

이러면 limsup an + limsup bn < lim(an i+bn i) =< lim an i' + lim bn i' 이니까 모순


반대로 an i + bn i에서 an i, bn i > 0인 것과 an i, bn i < 0인 항이 유한하면 결국 적당한 N이 존재해서 i>N에서 an i > 0 > bn i 또는 an i < 0 bn i라는 말인데

an i < 0 bn i인 i를 분리해서 인덱스를 j로 바꿔써서 다시 쓰면


이때는 lim(an i+bn i) =< lim an i + lim bn j 인데 sup정의 때문에 lim an i + lim bn j  =< limsup an + limsup bn이니

lim(an i+bn i) < limsup an + limsup bn이라서 처음 한 가정에 모순


전에 어떻게 했는지 정확히는 기억안나서 대충 다시 풀어본거라 제대로 푼건지 자신은 없은데 대충 이런식으로 증명하면 될듯

맞다 쳐도 좀 더 간단히 쓸 수 있을 거 같은데 일단 나중에 다시 생각해봄