학교 기말고사 기출문제인데 하도 심심해서 재미삼아 풀어보던 중에 막힌 문제가 있습니다. 원기둥좌표계에서의 삼중적분을 구면좌표계의 삼중적분으로 바꾸는 전형적(?)인 유형의 문제라고 할 수 있겠는데 다른 예제에 비해서 적분 영역을 표현하기가 까다롭네요. 일단 문제랑 답지(어디서 주워온 거라 오피셜 풀이인지 다른 누군가 만들어 놓은 건지 모르겠음) 첨부하겠습니다.
마지막에 ρ 범위가 0부터 2 또는 2sinθ/sinϕ까지가 아니라 2sinϕsinθ부터 2 또는 2sinθ/sinϕ까지여야 하는 거 아닌가요?
ρ가 0부터라고 하면 반구 z=sqrt(2rsinθ-r²)가 개무시당하는 거 같아서요.
사실 그렇다고 쳐도 바꾼 식이 정말로 equivalent한 식이 맞는지, 맞다면 저것보다 간단하게 표현할 수는 없는지가 의문입니다.
일단 제가 직접 풀었을 때 적분 영역은 위 그림이랑 똑같이 그려지고,
좌표계 변환하면서 야코비안이 r에서 ρ²sinϕ으로 바뀐다든가 이런 건 당연히 알겠고,
경계가 될 만한 곳들은 전부 구면좌표계로 아래와 같이 표현된다는 점도 도출했습니다.
반지름 길이가 1이고 중심이 (0,1,0)인 반구
z=sqrt(2rsinθ-r²)
z²=2rsinθ-r², z≥0
z²=2y-x²-y², z≥0
x²+(y-1)²+z²=1, z≥0
x²+y²+z²=2y, z≥0
ρ²=2ρsinϕsinθ
ρ=2sinϕsinθ
반지름 길이가 2이고 중심이 원점인 반구
z=sqrt(4-r²)
z²=4-r², z≥0
z²=4-x²-y², z≥0
x²+y²+z²=4, z≥0
ρ²=4
ρ=2
cylinder
r=2sinθ
ρsinϕ=2sinθ
ρ=2sinθ/sinϕ
cylinder와 반지름 2짜리 반구가 만나는 곡선
ρ=2=2sinθ/sinϕ
sinϕ=sinθ
ϕ=θ 또는 ϕ=π-θ ...등등
ϕ, θ의 값이 어느 영역에 속하는지에 따라서 ρ의 상한이 2인지 2sinθ/sinϕ인지 달라지기 때문에 뭔가 영역을 나눠서 적분식을 따로 표현해야 할 것 같긴 합니다. 근데 무지성으로 나누려고 보니까 또 z≥0인 경우에는 ϕ 범위가 애초에 0≤ϕ≤π/2로 제한되어 있어서 어떤 범위에서는 θ 대신 π-θ를 사용해서 표현하는 듯한데 여기서부터 대가리 터질 거 같네요
왜 phi가 +로 뜨는 거지