A의 characteristic polynomial이 (x-1)^3 이고 B의 characteristic polynomial이 x^3이므로
A의 고유값 1에 대응하는 고유벡터를 v1 이라하고 B의 고유값 0에 대응하는 고유벡터를 v1이라고 하면 (A와 B는 고유값을 공통으로 가지므로 이를 v1이라고 정했어요)
Av1=v1이고 Bv1=0 (영행렬)이다. 이를 가지고 어떻게 B의 최소다항식이 x^2임을 보여야할지 잘 모르겠습니다.
B의 characteristic polynomial이 x^3이므로 B의 최소다항식 후보
1. B의 최소다항식이 x이면
B가 영행렬이므로 A와 B가 같은 고유값들을 갖지 못한다.
2.B의 최소다항식이 x^3이면 B^3=0 이므로
A’=A-I라고 하자. 그러면, A’의 char. poly와 min poly는 각각 x^3이고 x^2임. 위 사실로부터 A’의 jordan form이 [0 0 0:1 0 0:0 0 0]임을 알 수 있음. 즉, A’의 nullity=2임. 한편, {A’의 0에 대응하는 고유벡터}={B의 0에 대응하는 고유벡터}이기 때문에 A’과 B의 nullity는 같고 따라서 B의 nullity도 2임. 만약 B의 min poly가 x^3이면 B의 jordan form으로부터 nullity가 1이고 이는 모순. 다르게도 될 거 같은데 일단 생각나는 건 이정도 - dc App
답변 감사합니다. 조르당 폼을 쓰지않고 해결할수는 없을까요
1. A’의 nullity가 2라는 것을 jordan 안쓰고. A’을 [0 a b : 0 0 c : 0 0 0]라고 삼각화하면 (A’)^2=0이기 때문에 ac=0. 즉, a=0 or c=0이고 어느 경우라도 rank(A’)=1을 얻음. 따라서 nullity는 2. 2. B의 min poly가 x^3인 경우; jordan 안쓰고 마찬가지로 위처럼 삼각화를 진행. 그러나 min poly가 x^3이기 때문에 B^2은 0이 아님. 따라서 ac는 0이 아니고 a와 c 둘 다 0이 아님을 얻음. 이 경우, rank(B)=2. 따라서 nullity는 1이고 2가 아니므로 모순. 이 방법은 jordan을 안쓰고 삼각화를 이용한 방법인데 모르는 거 있으면 물어보세요:) - dc App
우선 C를 복소수체라하면 (A-I)((A-I)(C))={0}이므로 (A-I)(C)가 ker(A-I)에 속하기에 rank(A-I)=<null(A-I). 차원정리에 의해 rank(A-I)=3-null(A-I)이므로 3=<2null(A-I). 즉 null(A-I)는 2 또는 3입니다. 그런데 null(A-I)가 3이면 A가 모든 벡터를 고정해서 A=I이므로 모순
즉 A-I의 영공간의 차원이 2이고, 그에 따라 B의 영공간의 차원도 2입니자. 그러면 B의 영공간의 두 일차독립인 벡터 v1, v2,를 잡고 이 둘과 일차독립인 벡터 v3를 잡아서 C의 기저 {v1, v2, v3}를 만들면 B를 선형변환으로 볼 때 B(av1+bv2+cv3)=B(cv3)이고 B^3=0이려면 B(v3)=dv1+ev2 꼴이여야 합니다..
그러면 B^2(av1+bv2+cv3)=0 이므로 B^2는 0 가 되어 B의 최소다항식은 x 또는 x^2가 되는데, 최소다항식이 x면 작성자님이 쓴 대로 모순이므로 x^2가 됩니다.
답변 내용이 확실히 이해가 됐습니다. A-I를 잡고 rank와 nullity정리와 rank 와 nullity포함관계를 이용해서 nullity를 추론하고 그 이후에 B의 영공간의 차원을 구해서 기저를 추가해 선형변환을 만들고B의 특성다항식을 이용해서 최소다항식 구하기