[일반] 벡터공간의 대칭군

[LA(motion1050)]

벡터공간 K^n의 대칭군이 GLn(K)라는 데 여기서 나오는 대칭군이 S_n 말하는 거임??

- dc official App

[익명(58.125)]

S_n은 유한‘집합’의 구조(기수)를 보존하는 함수들의 모임이라 단순히 대칭군이 임의의 K^n to K^n 함수 중에서 벡터공간의 구조까지 보존하는거임

[익명(58.125)]

함수중에서 -> 함수일 뿐아니라

[LA(motion1050)]

Automorphism group들을 대칭군이라고 부르는 거임? 난 그런 식으로 부르는 건 처음 봤는데 그런 내용이 어디에 나오는 건지 알려줄 수 있음? 그리고 affine space A^n의 대칭군은 선형변환에 평행이동까지 추가시킨 GLn(K)과 K^n의 semidirecproduct라는데 A^n과 K^n이 그냥 같은 집합이고 표현만 다른 걸로 아는데 두 대칭군이 다르다는 게 이해가 안되는데 '대칭군'이라는 게 구조마다 정의가 있는 건지 아니면 두루뭉술하게 어떤 구조들을 보존할 때마다 대칭군이라고 부르는지 모르겠음. - dc App

[수갤러 1(222.235)]

원래 뭐라고 적혀있었는데? 영어였다면 영어로 부탁함

[카카오M(kakaothh)]

'대칭군'이라는 용어를 직접적으로 사용한걸 본적은 없지만 '벡터공간 K^n의 대칭군이 GLn(K)' 이라는 말을 보면 automorphism이구나 라고 자연스럽게 생각이 들듯.. A^n이랑 K^n이랑은 underlying set으로서는 같지만 둘이 태생적으로 다름. A^1은 K[x] (algebraic closed field라고 가정합시다) 들의 해집합이기 때문에 연산이라는 개념이 없고 점들이 개별적으로 존재함, 하지만 K^n은 연산(더하기)와 상수곱이 있는 공간이에요. 그리고 두개에 주는 위상또한 달라요. K^n x K^m = K^{n+m}이 되지만 A로는 그렇게 쓰지 않아요.

[LA(motion1050)]

아직 제대로 공부하지는 않았지만 1. K^n과 A^n에 부여하는 위상이 다르다는 말은 K^n에는 metric top, A^n에는 zariski top을 부여하는다는 말씀이신가요? 2. K^n×K^m=K^(n+m)이 된다는 건 product space도 metric space이고 A^n×A^m이 A^(n+m)이 안되는다는 건 두개의 zariski top의 product top이 zariski top은 아니라는 말씀이신가요? 만약 그렇다면 A^n이라는 기호는 toplogical space로서 K^n과 다른 space이기 때문에 다른 기호를 쓴다고 이해해도 되나요? 또한, K^n은 연산이 있는 vector space로서, A^n은 다항식들의 해집합으로서의 맥락 차이가 있다고 생각하면 될까요? - dc App

[수갤러 1(222.235)]

뭔가 잘못 흘러가고있는데 이거는 대수기하 얘기가 나올게 아님 아핀 공간을 원점이 없는 벡터 공간처럼 보는 얘기이지 zariski top을 쓰는 얘기가 아님 그랬으면 (x,y)를 (x,y+x^2)로 보내는 것도 들어갔겠지 여기서 대칭군이라 함은 전통적인 표현으로 넓은 의미에서의 대칭을 말함, 요즘 표현으로 자기동형사상군을 말하려는게 맞음 그런데 벡터 공간(원점을 고정)과 아핀 공간(평행이동 가능)은 보존해야할 구조가 다르니까 다르게 구해질 뿐임

[카카오M(kakaothh)]

대수기하 말고 Affine space를 A^n_K로 쓰는건 본적이 없어서 당연히 대수기하 물어보는줄 알았는데,,, A^n이라는 기호는 toplogical space로서 K^n과 다른 space이기 때문에 -> topological space까지 안가도 그냥 다른 집합이에요, K^n을 벡터공간으로 본다는 말은 암묵적으로 (K^n, K, +, *) 이렇게 네가지를 한번에 표기하는것 뿐임