n³+3n²+8n이 항상 6의 배수임을 증명하라는 건데 (n은 자연수)


n=1일때 성립하고

n=k일때 k³+3k²+8k=6a가 성립한다고 하면(a는 자연수)

n=k+1일때 (k+1)³+3(k+1)²+8(k+1)=6a+3k²+3k+1+6k+3+8 = 6a+3k²+9k+12


3k²+9k+12가 항상 6의 배수임이 증명되면 n³+3n²+8n은 항상 6의배수임이 증명되므로


k=1일때 성립하고

k=m일때 3m²+9m+12=6b가 성립한다고하면(b는 자연수)

k=m+1일때 3(m+1)²+9(m+1)+12=6b+6m+3+9 = 6(b+m+2)

따라서 3k²+9k+12는 항상 6의배수이므로


n³+3n²+8n은 항상 6의배수이다.


이 수학적 귀납법 증명 말고는 따른건 없나요?