[대학교이상] 정수론 질문

[익명(118.221)]

문제 접근방법

 a와 p를 이용해서 (a/p)(p/a)=(-1)^{(a-1)(p-1)/4} 를 이용해서 (이차잉여 상호법칙) 이후에

 (5b^2/a)=(-1)^{(a-1)(a^2+5b^2-1)/4}라는 결론을 얻었습니다.  여기서 문제에서 요구하는 최소의 자연수 m을 찾기위해서 하나하나 a와 b에 대입해서 체크해야 할까요?? 최소의 자연수 m찾는 과정에서 막혀서 질문드립니다 ! 

[Delpcon(bare3888)]

a, b가 모두 홀수이면 p가 짝수가 되므로 모순 -> b는 짝수입니다.또한 a는 5, b와 서로소입니다. (그렇지 않으면 인수분해가 가능합니다)그러면 5b^2=0(mod 20)이므로 p=a^2 (mod 20) 인데 이는 p=a^2 (mod 4)p=a^2 (mod 5)인 두 연립합동방정식과 동치이고p=0 (mod 4)면 p가 4 배수이므로 모순 -> p=1 (mod 4),p=1 or 4 (mod 5) 입니다 (1, 4가 5의 이차잉여류)이를 중국인의 나머지 정리로 풀면 p=1or 9 (mod 20).

[Delpcon(bare3888)]

한편 a가 법 p에 관한 이차잉여이므로 (a/p)=1=(p/a) (p=1 mod 4이므로 이차상반법칙에 의해) (p/a)=((a^2+5b^2)/a)=(5b^2/a)=(5/a)((b/a))^2=(5/a)=(a/5). 즉, (a/5)=1이므로 a=1 or 4 (mod 5)이고 a^2=1 (mod5)이므로 p=a^2=9 (mod20) 이면 a^2=4 (mod5)가 되므로 모순. 그래서 p=1 (mod 20)가 됩니다. 실제로 a=19, b=6이면 541은 법 20으로 1과 합동인 소수입니다.

[익명(125.133)]

상세한 답변 감사합니다.