[대학교이상] 현대대수 질문

[익명(172.226)]

4번

4번 Z[rt(q)]/<p> 는 Zp[x]/<x^2-q>와 동형인거 이용해서 크로네터 정리로 풀수있나요? 풀이방법도 궁금합니다.

12번은 어떻게 풀어야할지 모르겠어요 ㅠㅠ 최대한 쉽게 설명부탁드려요

[수갤러 1(118.235)]

단순군이면 실로우 그룹이 몇개?

[수갤러 2(203.236)]

1보다 큰수? 실로우 p부분군이 1개면 정규부분군되는데 단순군은 정규부분군 안가져서…? - dc App

[수갤러 3(1.229)]

임용러 ㅎㅇㅎㅇ 늦었지만 볼지모르겠지만 대략적으로만 써봄 4번 : 4번은 문제좀 풀면 감이 오겠지만 상환의 직적으로 해결하는 문제임 Z[i]에서 <15>로만 보면 그렇게 큰 힌트를 얻을 수 없음 그래서 생각해야하는건 기약원을 이용해야겠다->분해를 해야겠다임 <15>=<3>교집합<5>는 생각해봤을거고 이제 여기서 <3>교집합<5>를 봤을때는 제2동형정리, 중국인의 나머지 정리를 생각해볼 수 있겠지? 근데 지금 Z[i]/<15>이기 때문에 제2동형정리를 사용해도 큰 의미가 없을거라 중국인의 나머지 정리로 가는거임 그러면 중국인의 나머지 정리에 의해 Z[i]/<3> x Z[i]/<5>로 나뉘는데 N(x+iy)=x²+y²=3인 정수가 없으므로 3은 기약원, 5=(1+2i)(1-2i)

[수갤러 3(1.229)]

이므로 중나정 한번더 쓰면 3개의 체의 곱으로 표현되고 체의 아이디얼은 자기자신과 {0}뿐이니까 이제 해결이 될거야 12번 : 이건 실로우 정리 쓰는건데 3정리에 의해서 n5=81임을 알수있음 그래서 서로다른 sylow5부분군 H1 H2를 고려할 수 있음 1) 임의의 서로다른 실로우5부분군 두개의 교집합이 {e}->실로우3부분군이 유일하게 존재해서 모순 2) 그러면 H1∩H2의 위수가 5인 H1 H2가 존재함을 알 수있음(서로다르기 때문에 위수 25는 안됨) 그러면 H1∩H2의 정규화 부분군 N(H1∩H2)은 H1과 H2를 부분군으로 가지므로 집합 H1H2의 위수보다 N(H1∩H2)가 더 크거나 같음 즉 5³보다 크거나 같고 3⁴5²의 약수임

[수갤러 3(1.229)]

근데 3⁴5²보다 작은경우는 실로우 제3정리에 의해 N(H1∩H2)의 실로우 5부분군이 유일하게 존재하므로 모순(H1, H2를 이미 갖고있으니까) 그래서 N(H1∩H2)=G가 되고 G는 정규부분군으로 H1∩H2을 가지므로 단순군이 아니게됨