[대학교이상] chain rule 증명 질문

[익명(112.171)]

출처 : Thomas' Calculus

스튜어트도 그렇고 토마스도 그렇고 chain rule을 똑같은 방식으로 저렇게 증명하고 있는데, 이게 정석적인 증명 방법인가요(;;)?

논리는 따라 갔는데, 뭔가 어거지로 끼워 맞춘 느낌이 들어서 궁금합니다요...

[익명(112.171)]

정석적인 방법을 묻는다는 게 좀 바보 같은 질문이긴 한데.. 일단 저게 대표격이라면 그냥 받아 들이고, 아니라면 그 다른 방법이나 좀 더 진보된 형태는 나중에 찾아 볼려고 해서 물어보는거..

[구거싫어(mytop914)]

어느 부분에서 이상한지 말해줘야지

[익명(112.171)]

아닙니다 몇 번 더 읽으니 와닿네요! 답변 감사합니다. 그런데, 살짝 이상한 부분은 막줄에서 lim을 씌워서 (delta x/delta y)를 계산하는 데 그 윗쪽에서 lim을 씌우기도 전에 양변을 delta x로 나누어서 (delta x/delta y)를 만들고 있잖아요? delta x는 x의 증분이니 증분이 0이라면 나눌 수 없지 않나요? lim을 씌우고 나눠야 하지 않나요? lim을 씌우기 전까지는(delta x가 0에 가까이 가지만 0이 아님) delta x로 나눌 수 없다고 생각했는데... 이 부분 알려주실 수 있을까요?

[갱생실패리카(lillollool)]

어차피 delta x가 0이아닌 경우에만 밑에서 두번째 등식이 성립함을 알면 양변에 극한을 취할수있기때문에 0이아니라 가정하고 나누는거임

[갱생실패리카(lillollool)]

f(x)의 a가 아닌 x에서의 함숫값 정보만 알면 x->a로의 극한값을 찾아볼수있는것처럼

[갱생실패리카(lillollool)]

일변수에서는 미분을 평균변화율의 극한으로 보는게 자연스럽지만 다변수에서는 기존 일변수 미분 정의와 아예 동일한 꼴로 확장하려고해보면 조금 어색해보임. 그래서 저기서말한 Eq(1)의 꼴을 벡터로 확장시킨 식을 만족하는 유일한 Delta x벡터에 관한 선형함수 와 같이 미분을 정의하게됨 다변수에선. 해당 관점이 미분을 바라보는 더욱 일반적인 관점이었다 치고 증명을 보면 걍 자연스러운 식이 됨

[갱생실패리카(lillollool)]

delta x 가 0의 어떤 근방에 있을때 delta u가 constantly 0 인 경우에도 chain rule이 성립하는데 그 경우까지 케이스분류없이 한번에 처리해줄수있다는 점도 저 증명을 택하는이유가될수잇을듯.

[익명(112.171)]

자세한 답변 감사합니다!!