epsilon이 delta의 연속함수여야 하는 이유를 좀만 더 자세히 설명해주실 수 있나요? 댓글 중에 다음 내용이 있는데,
"만약 e2가 0에서 연속적으로 확장되지 않았다면 e2가 0으로 간다는 이야기를 못 함"
delta u가 0 그 자체일 수도 있는데, 그 때에도 lim [f'(b)+e2][g'(a)+e1]에서의 e2가 0이 되도록 한다는 뜻일까요?
그래서 댓글을 수정하자면 다음같이 되어야 정확할까요?
"만약 e2가 0에서 연속적으로 확장되지 않았다면 e2가 0이 된다고 이야기를 못 함"
그래서 delta x = 0이어서 delta u = 0 이면 e1, e2가 모두 연속이므로 둘 다 0이 될 것 같은데... -> 만약 이 생각이 맞다면, 딱히 이 부분이 증명에 강조가 되어 있지는 않은 것 같고요.
그리고 delta x = delta u = 0이면, e1 = e2 = 0이 되고 그에 따라서
lim(delta x -> 0) [f'(b)+e2][g'(a)+e1]은 lim(delta x -> 0) [f'(b)][g'(a)]가 되고,
여기서 [f'(b)][g'(a)]은 상수 취급하여 극한값은 [f'(b)][g'(a)]가 됩니다.
제대로 이해했는지 궁금합니다...
제대로 이해했는지 궁금합니다...
--- (수정) chain rule 증명 첨부 ---
출처 : Calculus - James Stewart 8th
-- (수정 2) 합성 법칙 증명 첨부 --
출처 : Calculus - James Stewart 8th
chain rule 증명은 걍 해석학 들으면 명쾌하게 해결되는 부분임 - dc App
x->a일때 g(x)->L 이고 y->L일때 f(y)->M 이라고해서 x->a일때 f(g(x))->M이란 얘기를 할수없기때문임. a 임의의근방마다 그 안의 어떤 점들에서 g(x)=L 이 될수도있는데 f(y)->M as y->L 은 y가 L이아니면서 L에 매우가까운경우에 f(y)가 M과 매우가깝다는것까지만 말해주기때문에 g(x)=L인 x들에서 f(g(x))의 값이 M에서 원하는 바운더리보다 멀리 튀어버릴수있는 가능성이 남아있음. 이런일이 발생하지 않으려면 y=L인 경우조차도 f(y)가 극한값 M에서 멀지 않다는 조건이 필요한데 그 멀지 않다는 얘기가 임의의 주어진 양수 간격에 대해 적용되어야하는거라 모든 양수보다 f(L)과 M의 차이가 작아야하고 이게 곧 연속조건을 얘기함.
e2->0 as delta u->0 이므로 e2(0)=0 로 정의하면 0에서 연속이니까 문제없이 극한의 합성법칙을 적용가능함
끼워맞춘게 아니라는건 겉함수가 미분가능하기때문에 반드시 그럴수밖에없음. 책에서나온 그 엡실론함수를 0에서 연속이도록 확장할수있다는게 그점에서 원함수가 미분가능하기위한 필요충분조건임
첫댓의 말씀은 어떤 말씀인지 얼추 느낌은 이해했지만.... (뇌정지) 그럼 제 추측은 뇌피셜로 다 틀렸을까요?
막댓 연속적확장 조건은 엡실론함수의 0에서의값을 0으로 두었을때 라는말까지 들어있어야하네
delta x=0이어서 delta u=0인 경우를 커버쳐주기위한게아니라 delta x=/=0이면서 delta x 가 0에 가까운경우에도 얼마든지 delta u=0일수있는데 이걸 커버쳐주기위한거라는거 연속적확장은.
뭐 예를들면 속함수가 미분을 논할 점을 포함하는 어떤 열린구간에서 상수함수인 경우라던가 사실 상수함수아닌 경우도 많음. x²sin(1/x) (x=0에선 0으로정의) 같이 상수함수도아닌데 x=0 임의의 근방에서 0인 함숫값을 많이 가지는경우도있고(미분을 얘기할점은 x=0이라보고)
것보다 책 앞쪽에 극한의 합성법칙 없나? 암만 스튜어트같이 쉬운책이어도 그 정리랑 엡델로쓴 증명은 있을거임. 보면 연속조건이 왜필요한지 알게될거. 극한에서 if 델타부등식 부분은 0보다크다는조건까지붙어있는데 속함수의 then이후 엡실론부등식 부분은 그조건이없어서문제가생기는거라.
그 경우도 있겠네요. 그런데 delta x=0이어서 delta u=0인 경우도 가능하지 않나요? 그럼 저 상수 취급하는 부분도 틀렸나해서요...
에초에 [f(g(a+delta x))-f(g(a))]/delta x 의 delta x->0에서의 극한을 얘기하고있어서 delta x=0인경우를 생각할필요조차없는상황임.
책 앞쪽(2장)인데 없습니다... 극한 x->a일때 엄밀한 정의랑 무한극한 엄밀한 정의 이런건 있지만...합성법칙이라 하시면 f가 b에서 연속이고 lim(x->a)g(x)=b일때 lim(x->a)f(g(x))=f(b) 요거 말씀하시나요?
ㄴ 네 그거말하는거임
네머 최종적으로 극한을 취하는 식이 delta x=0 에서 연속인 함수로 확장이 되어주기야 하겠죠. 겉함수가아니라 속함수에대한 증분 변수인 delta x에 관해서는 딱히 그얘기까지 안가줘도 상관없다는얘기였던거임. 쓸모없다기보다는. delta x->0,delta x=/=0임에도 불구하고 delta u=0이될수있는 경우는 반드시 커버쳐줘야하고 delta x=0일때 delta u=0인 경우에관해선 딱히 별말 하지않아도된다 라는거.
delta x = 0인 경우를 고려할 필요없다는 말씀은 이해했습니다. delta u = 0 그 자체가 되거나 0에 가까이 간다는 말씀이시죠? 이 두 경우에 공통적으로 일어나는 일은 e1->0이고, e2는 e2->0 이거나 e2=0이 되고, 그에 따라서 lim(delta x -> 0) [f'(b)+e2][g'(a)+e1]은 lim(delta x -> 0) [f'(b)][g'(a)]가 되고, 여기서 [f'(b)][g'(a)]은 상수 취급하여 극한값은 [f'(b)][g'(a)]가 되고요(e2=0일때). e2->0인 경우도 극한값은 같을거구요
e2가 delta u=0 근방에서 항등적으로 0이 되어주지 않는이상은 상수 취급하여 라는게 말이안됨. 그냥 e2는 e2 그자체로 내비둬줘야함.. 경우를 나눌 필요가없음. 종속변수로서 e2->0 인 경우안에 e2가 0인순간들이 있는경우 없는경우 무수히많은경우 그닥 많이는없는경우 항상0인경우 다 들어있는거임 리미트안에서 논리적으로 케이스를 나누는 행위같은걸 할수없음
e2가 어떤형태로 0에 다가가는지(다가가면서 0이되는점이 있는지 없는지 한갠지 두갠지 셀수있게 무한갠지 셀수없게 무한갠지 적당한 구간에서 항상 0인지) 뭐그런거에 관심을 둘필요가 없이 e2가 0에 다가가기만하면 성립하는 성질이 극한의 성질임. 특히 리미트안에서 뭔가 케이스분류를 하려고하면 안됨.
아니다 사실 되기는함..
lim(delta x->0 with e2(delta u(delta x))=/=0) (f'(b)+e2)(g'(a)+e1) lim(delta x->0 with e2(delta u(delta x))=0) (f'(b)+e2)(g'(a)+e1) 정의역자체를 제한해버린후 각 제한된 함수들의 극한값을 생각한다는 의미로 위의 식을 정의했을때 이렇게 두개가 다 0이면 lim (delta x->0) (f'(b)+e2)(g'(a)+e1)=0 이라고 말할수있기는함..
알겠습니다.
lim (delta x->0) (f'(b)+e2)(g'(a)+e1)=0 여기에서 왜 극한이 0이죠?
아 저 2개가 0인 경우에 말씀하신건가
그이전에 delta x=0 이 각각의 제한된 정의역의 cluster point 여야한다는 조건도 필요하고 (사아실은 근데 또 0이 cluster point가 아닌 경우를 허용해서 공허참까지 포함시켜도 지금 다루는 경우엔, 둘다 극한이 f'(b)g'(a) 라면 두개합친극한도 같은곳으로 수렴한다는 진술이 참이기는함..) 미적분학책에서 그런얘기자체를 안하는경우가 많아서 일단은 안된다 생각하라는뜻으로 봐주셈
오타임. 슬슬 밤되니까 뇌가꼬여서..ㅈㅅ. 갸우뚱한 0을 f'(b)g'(a)로 다바꿔읽어주심 ㄱㅅ하겠음.
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보통 미적책에서 x->a 극한을 논할때 a를포함하는 열린구간에서 정의된(이때 a에선 정의안돼도됨) 함수 까지만 논함. 보고계신책이 어떨진모르겠는데 아마 예상이 맞을것이라 보고 근방에서 항등적으로 0이아닌경우에는 상수취급하는게 말이안된다는둥 뭐그런얘기를 했던거임
그럼 케이스를 나눈다기 보다는 delta u가 0이 되건 0에 가까이 가건 그래서 e2가 0이 되건 e2가 0에 가까이가건 두 경우들이 모두 동일하게 처리된다는 의미로 받아들이면 될 것 같습니다. 그런데 저 링크한 글 속 사진의 증명에서, lim(delta x -> 0) [f'(b)+e2][g'(a)+e1]의 계산 시에 delta u -> 0 이면 e2 -> 0이라고만 나와 있어요. 그런데 delta u = 0일 수도 있으니까 epsilon의 정의에 따라 e2 = 0인데, 그러면 저 극한 계산 시에 delta u = 0인 경우를 delta u -> 0에 포함시킨걸까요?
ㅇㅇㅇ 그걸 달리 수학하는사람 언어로 표현할 방법이 떠오르지않아서 그렇게썼다는걸로 받아들이면, 무슨 의미로썼을지 이해는 되네요. 사진좀다시보고옴 ㄱㄷ
Chain rule에 대해 입델 증명이 따로 있는거 같긴 한데, 거기서는 극한 합성법칙이 사용될지 몰라도, 지금 링크된 글 속 사진 속 증명에서 극한 합성법칙은 안쓰이지 않나요?
극한 합성법칙은 그냥 f 바깥으로 빼는거고, 연속이어야 하는 이유는 그냥 그 증명의 논리를 따라가다 보니 입델증명에서 연속임이 필요했기 때문이라고만 생각해왔는데...
1.delta u->0 이 종속변수로서의 ->0 이어서 =0이되는순간들이 존재하는 경우까지 내포하고있음. 2. delta x->0이 1의 의미로의 delta u->0 을 말해주고 이것이 e2->0을 말해준다는것이 (겉함수가 연속인경우에) 극한의 합성법칙으로부터 나온다는거임.
해석학에서도 체인룰은 저렇게 증명함.
증명을 현재 글에 포함시켰습니다. 일단 1번 이해했습니다. 감사합니다.
delta x->0이 delta u->0(독립변수로서의 delta u->0처럼 항상 delta u=/=0 을 가정하는게아닌 =0인 순간들의 존재를 허용하는 느슨한의미의 종속변수로서의 delta u->0)을 말하고 그러한의미의 delta u->0은 e2가 0에서 함숫값이 0이고 연속인경우에는 e2->0을 말해줄수있음. 만약 연속이 안된다면 e2->0까지 가지못한다는게 처음했던이야기고 그게 2임.
delta x->0이 delta u->0라는 것은, 현재 글에 첨부한 사진의 식 6에서 비롯된 것이고(사진에서도 이렇게 서술되어 있음), delta u->0이 e2->0라는 것이 극한의 합성법칙으로부터 나온다는 말씀으로 이해했습니다. 그런데 delta u->0이 e2->0라는 것은, 합성법칙이 아니라 epsilon의 정의에 의한 것 아닌가요? delta u = [f'(b)+e2](delta u) where e2 -> 0 as (delta u) -> 0이라고 되어 있어서요...
막댓글도 읽어보겠습니다.
엡실론의 확장정의(증분변수가 0일땐 엡실론도 0으로 정의한다)에 의한것이지 제한적 정의(증분변수가 0이아닌경우에만 정의된 평균변화율-미분계수)만 가지고는 느슨한의미의 delta u->0일때 e2->0이다를 이끌어내지못해요.
delta u->0(독립변수로의 ->0. 즉 =/=0을 유지하면서.) 일때 e2->0이다. 만 가지고는 delta u->0(종속변수로의 ->0. 즉 =0인 순간들의 존재도 허용.) 일때 e2->0이다를 말할수없음.
7박스 바로밑에 e2->0 as du->0 은 du를 독립변수로 본 표현으로썼다고 생각함. 그래서 저것만가지고는 불충분하고 e2(du=0)=0 까지 얘기해주어야 충분하다고 얘기중인거고. 링크글작성자는 왜 e2(du=0)=0으로 정의해줍니까? 물어본거고 본 글 질문자도 같은 질문을 했다고 이해했음난.
"그러한의미의 delta u->0은 e2가 0에서 함숫값이 0이고 연속인경우에는 e2->0을 말해줄수있음."에서... 그러한 의미의 delta u->0에 포함되는 현재 애매한 부분인 delta u = 0인 경우를 처리하려면, delta u = 0이면 e2가 연속함수여서 e2 = 0이 되어야 한다. 그리고 e2 = 0은 e2 -> 0에 포함된다라는 말씀이시죠? 뭔가 느낌 온 것 같기도..
네 그말이 맞음
근데 합성법칙이랑 연결되는 점이 뭔지 모르겠네요... 합성법칙 증명도 글에 첨부하였습니다.
e2가 0에서 연속이라는부분이 없으면 안된다는거 이해되시나요?
본인이 쓰신 현재 애매한 부분인 delta u=0 ~~~ e2는 연속함수여서 ~~~ 가 합성법칙 쓴거임
delta u = 0일 때에 e2 = 0이므로 느슨한 의미의 e2 -> 0을 이끌어내어야 해서 아닌가요?
e2가 겉함수 f, delta u가 속함수 g 이고 b=0,a=0 인 상황임
delta u = 0 인 경우에"만" 합성법칙이 쓰인거죠?
아닌가.. 지금 흐리멍텅해져서...
네 에초에다른점은 연속인지도모름
전일단한숨잘게요 낼 천천히다시생각해보셈
더 생각해 보겠습니다. 감사했습니다!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
- 합성 법칙 : f가 b에서 연속이고 x->a일 때 g(x)->b이면, x->a일 때 f -> f(b) - "e2가 겉함수 f, delta u가 속함수 g 이고 b=0,a=0 인 상황임" e2가 0에서 연속이고 Dx->0일 때 Du->0이면(Du=0 포함), Dx->0일 때 e2 -> e2(0)=0 1. 일단 Dx->0이면 Du->0임은 성립하는 상태(Du->0일 수도 있고 Du=0일 수도 있음). 2. 그런데 Du=0인데 e2가 연속이 아니면, Dx->0일 때의 e2의 극한이 무슨 값인지 모름. 합성 법칙을 못씀. 3. 반대로 Du=0인데 e2가 연속이면, Dx->0일 때의 e2의 극한이 합성 법칙에 의해 함숫값 e2(Du=0)=0과 같음을 앎.
참고로 Du=0이면, lim(Dx->0)(Du)는 상수함수의 극한처럼 lim(Dx->0)(Du) = 0임.
만약 Du /= 0이면서 D -> 0이면 그냥 위의 사진 속 chain rule 증명을 받아 들이면 됨. 물론 저 증명은 Du = 0과 Du -> 0을 통합한 것.
예아 그말이 맞다
감사합니다!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
수정) e2가 0에서 연속이고 Dx->0일 때 Du->0이면(Du=0 포함), Dx->0일 때 e2 -> e2(0)=0 => e2가 0에서 연속이고 Dx->0일 때 Du->0이면(Du=0 포함), Dx->0일 때 e2(Du=0)=0이거나 Du->0이어서 e2 -> 0임. 맞죠?
네 마즘