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정수론 질문수학 관련 과는 아니고 취미로<갈루아 이론의 정상을 딛다> 정수 파트 보고 있는데요마지막 문장 '물론 mod p에서 보았을 때도 모두 다릅니다' 이게 왜 성립하는지 모르겠어요h의 mod p^ngall.dcinside.com얼마전에 이 글을 갤에 올렸는데요,
조언을 따라 귀류법으로 증명하다가 아래 부분까지 가서 모순을 못 찾고 막히고 말았습니다.
그런데 계속 생각하다 보니까 애초에 이 증명이 무엇을 말하고자 하는 것인지, 왜 필요한 증명인지를 고민하게 되더라구요.
갤에 올렸던 파트는 결국 책에서 위의 증명을 하기 위한 파트인데요, 우선 수학적 귀납법을 통해 다음 사실을 증명합니다.
그리고 이전에 갤에 올린 다음 파트를 설명하고
메인 증명인 다음 파트로 넘어가는데요
제 생각에는 결국 밑줄 친 부분을 위해서 g^0~g^p-2가 mod p에서 봤을 때 다름을 설명한 것 같거든요
그런데 g 라는건 애초에 메인 증명에서 원시근으로 설정을 한거니까 g^0~g^p-2가 mod p에서 다르다는건 당연한 거잖아요.
그러면 말 그대로 g를 원시근으로 설정하기만 하면 본 증명에는 무리가 없는 것 같은데
왜 h를 원시근으로 잡고 h의 s승을 통해 또다른 원시근 g를 만들어내는 과정을 거쳤는지가 정말 의문이더라구요...
그래서 제 의문을 요약하자면....
1. 메인 증명을 하는데에 있어 g를 단순히 임의의 원시근으로 설정해도 증명에 무리가 없는 것이 아닌가? (g를 h의 s승으로 나타낼 필요성이 있나?)
2. h의 s승을 통해 만든 g는 항상 원시근인가?(전에 올렸던 것과 같은 질문)
이 두가지입니다....
사실상 1이 가장 큰 궁금증이긴 한데
혹시 가르침을 주실 수 있으면 감사하겠습니다
1. 1, g, ..g^p-2 이 전부 다르다는걸 설명하기 위해서 h로 표현한 거임 g를 임의로 잡아도 괜찮은데 그럼 증명이 길어지겠지 2. s를 저렇게 잡으면 그럼
답변 감사합니다. 사실 g가 원시근일 때 1, g, ... g^p-2이 모두 다르다는걸 저자가 책의 앞챕터에서 간접적으로 증명을 했다고 생각해서 왜 h를 써서 다시 증명했는지가 궁금했습니다... 그냥 다른 방식을 보여주는 거라고 생각하면 될까요
그리고 1, h^s , h^2s, ... h^(p-2)s가 왜 mod p에서 다른지 혹시 알려주실 수 있을까요? p^n에서 다른건 알겠는데 왜 p에서 다른지는 도저히 모르겠습니다...