[일반] 무리수집합에서 실수집합으로 가는 전단사함수 질문 좀 드릴게요

[익명(211.118)]

아주 예전에 몇년전에 수잘갤에

무리수집합과 실수집합의 카디널리티가 같기 때문에

두 집합사이의 전단사 함수가 존재할텐데

구체적으로 어떤 함수인가에 대해서 질문한 적이 있었는데

어떤 현자가 그 두 집합 사이의 전단사 함수에 대해서 알려주셨습니다.

다시 찾아보려고 하는데 도저히 못찾겠습니다.

혹시 두 집합사이의 전단사 함수에 대해 알려주실 수 있으신 분 계신가요?

[익명(112.152)]

얼마나 구체적인 걸 원하는데

[수갤러 1(58.238)]

유리수가 자연수 정도니까 경우 나눠서 자리 내면 되지 않나? 무리수 x를 고정하고 f:Z->Q가 정수 집합과 유리수 집합 사이의 전단사라 할 때 h:R->R\Q를 h(q)=f(2g(q))x, h(qx)=f(2g(q)-1)x, 그 외의 경우 h(r)=r (q는 임의의 유리수, g는 f의 역함수) 로 두면 되겠네 - dc App

[수갤러 2(221.138)]

{p_n}을 증가하는 치역이 소수 전체의 집합인 수열이라 하자. (p_1 = 2 , p_2 = 3, p_3 = 5 , p_4 =7 ,..) 무리수 전체 집합을 I라고 하고, f : I -> R 을 다음과 같이 정의하자.

[수갤러 2(221.138)]

p_0=0이라고 편의상 정의하고, f(x) = (sqrt(2)+sqrt(3))*m (x= (sqrt(2)+sqrt(3))*(m+1) 인 정수 m이 존재) f(x) = sqrt(p_(n-1))*q/p (x=sqrt(p_n)*q/p 인 자연수 n과 유리수 q/p가 존재) f(x) = x (else)

[수갤러 2(221.138)]

그러면 f가 bijective (전단사) 임을 알 수 있음.

[익명(221.138)]

정수 m이 존재를 "0이상인 정수 m이 존재" 로 고치셈. 그래야 맞아떨어짐 - dc App

[익명(223.39)]

q+n*sqrt(2)꼴로 표현되는 x에 대해선 x+sqrt(2)로 보내고 나머지 x들에 대해선 그냥 x그대로 보내는 함수를 생각하면 되지

[익명(223.39)]

아 실수에서 무리수로 가는 함수가 아니라 무리수에서 실수로 가는거 묻는거니까 이 함수의 역함수를 생각하면 되겠네

[익명(223.39)]

x가 유리수+자연수*루트2 꼴: f(x)=x-루트2 나머지 x일때 : f(x)=x 위에서 실수에서 무리수로 가는 함수에서 n은 음이 아닌정수, 반대로 무리수에서 실수로 가는 함수에서는 자연수(양의 정수)로 놓고 위와같이 정의하면 전단사 함수가 되고 서로 역함수 관계인거 확인가능

[익명(211.118)]

답변해 주신 분들 모두 감사합니다.