[중고딩문제] 수렴값 질문이요 ㅠㅠ

[익명(119.70)]

고급수학II 시간에 선생님께서 말씀만 따로 주신 문제인데요.

 제 기억이 맞는지 모르겠지만 이런 문제가 성립가능하다면 풀이 방향이 어떻게 될까요?

첫항은 임의로 넣어주셔도 됩니다.

[익명(104.28)]

첫항을 임의로 넣으면 1을 넣어버리는 수가 있어

[익명(119.70)]

으어어ㅓ.. 첫항 기억이 안나는.. 바보입니다..

[가자미(rkwka4152)]

이거 말투 왤케 웃기냐ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ - dc App

[익명(symbol9756)]

저 이차식이랑 y=x와의 두번째 교점(x=1)보다 작으면 수렴할듯 그림그려서 푸는건 너무 고등수학인가

[익명(symbol9756)]

대학수학버전으로는 어떻게 푸는지 몰겟음

[익명(119.70)]

어떤 풀이든 감사드립니다!

[익명(223.39)]

1, 루트3, -루트3 얘네들에서 시작하면 값이 계속 유지되는데?

[익명(119.70)]

아 그럼 해당 고정점을 기준으로 수렴해서 답이 세개가 되는건가요?

[익명(223.39)]

초항이 뭔지를 봐야할듯

[익명(119.70)]

기억상으론 루트2 또는 루트3이 유력합니다.

[익명(mzdrg)]

a1이 1 미만일땐 모르겠고 1이상일땐 f(x)=(x^2+3x-3)^1/3으로 놓고 f(x), x 크기 비교하고 유계찾으면 sqrt3이 fixed point이니깐 단조수렴할듯

[수갤러 4(172.226)]

감사합니다!

[익명(oen0c)]

양변에 (an)³ 빼기

[수갤러 1(172.225)]

뺀 후 좌변은 어떻게 하셨나요?

[익명(oen0c)]

(a_(n+1))³-(a_n)³ =(a_(n+1)-a_n){(a_(n+1))²+(a_(n+1)(a_n)+(a_n)²} =-(a_n)³+(a_n)²+3a_n-3 =(1-a_n){(a_n)²-3} >0이라면 모든 n에 대해 an은 증가하고 an<-sqrt3 or 1<an<sqrt3에서 단조수렴정리에 의해 각각의 경우에 대해 -sqrt3 sqrt3으로 수렴 <0이라면 모든 n에 대해 an은 감소하고 -sqrt3<an<1 or an>sqrt3에서 단조수렴정리에 의해 각각의 경우에 대해 -sqrt3 sqrt3으로 수렴 증가든 감소든 같은 값으로 수렴하는거는 재밌네

[수갤러 2(172.226)]

선생님 해당 글쓴이입니다 1. 그럼 초항이 무엇이냐에 따라 해당 부분에서 -sqrt3인지 sqrt3으로 수렴할지 결정되는게 맞을까요? 2. 초항이 정해지면 증가 감소도 따져봐야 되겠네요. 답변 감사드려요 :)

[익명(oen0c)]

ㅖ 초항 결정되면 "모든 n에 대해"라고 했으니까 이후항 증감 극한값 바로결정됨

[익명(oen0c)]

등호일 때를 안적었는데 등호면 세가지가 가능함 1. 모든 n에 대해 an=1 2. 모든 n에 대해 an=sqrt3 3. 모든 n에 대해 an=-sqrt3 당연히 중간에 값을 갈아탄다거나 그런건아니고 극한값도 그대로 결정됨

[수갤러 3(172.226)]

감사합니다 ㅠㅠ 안바쁘시다면 정말 죄송하지만, 초항이 sqrt2라면, 예시로 간단하게만 적어주실 수 있을까요?

[익명(oen0c)]

https://www.wolframalpha.com/input?i=a%28n%2B1%29%3D%28%28a%28n%29%29%C2%B2%2B3a%28n%29-3%29%5E%281%2F3%29%2C+a%281%29%3Dsqrt2
앞서서
얘기했듯 a1=sqrt2면 모든 n에 대해 a_(n+1)>a_(n) & 1<an<sqrt3이고 sqrt3에 수렴함
점찍힌거봐도 루트3에 수렴하는걸 볼수있음

[수갤러 3(172.226)]

으어어ㅓ 늦은밤에 귀찮으실텐데 울프람알파까지 정말정말 감사드립니다. 선생님 복받으실겁니다ㅠㅠㅠ 감사드려요.

[익명(223.39)]

a1=-4일땐?

[익명(w3gq0w2syydw)]

근데 문제와는 별개로 저 점화식을 n에 대한 식으로 고칠려면 어떻게 해야하는건가 궁금하네 - dc App