1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6가 Z_p[x]에서 irreducible polynomial이 되게끔 하는 소수 p들을 구할 때 소수 하나하나에 대해서 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6 보다 낮은 차수로 나누어지지 않는다는 것을 체크해야 하나요?? 좀 더 나은 방법은 없을까요 ??
1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6가 Z_p[x]에서 irreducible polynomial이면 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6은 x^(p^6)- x를 나눔을 보여주면 되는데
f(x)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 f(x) irreducible over Z/2Z 이고 f(x)|x^7-1|x^{2^3}-x면 6=deg f(x)|3 인데 아니니까 reducible over Z/2Z f(x) irreducible over Z/11Z 이고 f(x)|x^7-1|x^{1330}-1|x^{11^3}-x면 6=deg f(x)|3 인데 아니니까 reducible over Z/11Z f(x) inseparable over Z/7Z =>reducible 몇개 집어서 하라고 하면 이런 식으로 할 순 있을거 같아요 - dc App
답변 내용이 이해가 됐습니다 감사합니다
x^7-1 이 x^{1330} -1을 나눌 수 있다.great
하나하나 체크하는것이긴 한데 논리가 기약이라고 가정했을때 해당되는 p를 찾고 그 p에 대해서 기약인지 아닌지를 확인하면 충분합니다. 실제로 해보면 기약이라고 가정했을때 나오는 p=3,5,17,19,31, 47에 대해서 다 성립함을 알 수 있습니다. 아래는 전반적인 풀이입니다. (이거 아마 이번에 본 대성4회모고 문제같은데 본문제하고 논리가 거의 비슷해서 푸셨으면 이해는 쉽게 될거라고 생각합니다) f(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6라 하고 f(x) 기약이면 f(x)의 해 α에 대해 [Zp(α):Zp]=6이되고 이에 따라 Zp(α)는 Zp위에서 g(x)= x^(p^6)-x의 분해체이다. 그러면 f(x)|g(x)가 되고 더 나아가 x^7-1|g(x)이다.
만약 x^7-1|x^(p^d)-x(d는 6보다 작은 약수)라면 [Zp(α):Zp]≤d<6이 되어 모순이다. (x^(p^n)-x의 구조를 통해서도 모순임을 보일 수 있습니다) 그러므로 x^7-1|x^(p^6-1)-1 이며 더 나아가 p^6≡1(mod7)이 되어야 한다 (위에 의해 p^d≡1(mod7)인 d는 오직 6만 되어야 함을 알 수 있습니다 d 1,2,3은 안 됩니다) 따라서 p=3,5,17,19,31,47이다. f(x)가 가약이라고 가정하자 그러면 irr(α,Zp)의 차수는 6미만임을 알 수 있습니다. 위의 과정에 의해 p^d≡1(mod7)가 되어야 하는데 위의 모든 p에 대해 ord_7(p)=6이므로 모순
답변 감사합니다
저거는 근데 그거잖아 x-1 곱하면 root of unity 같이 생긴 식이어서 이름 있을텐데