유닛스피드가 아닌 커브가 있다고 하자
한번 미분해서 단위화 시켜서 탄젠트벡터
탄젠트를 미분하고 크기로 나눠서 노말벡터
그것끼리 크로스해서 바이노말벡터
이렇게 TNB를 똑같은 방식으로 정의해도 자연스럽지 않아?
크기도 다 1이고
TNB끼리 직각이고 basis도 이루고
카파는 여전히 곡선이 휜 정도를 나타내 줄테고? 등등등
책에서 지금 하고 있는 게
단위속도 커브에서 TNB를 정의했는데
repara 함수를 구하기가 일반적으로 어려우니
미분 세번씩 들어가는 공식을 보여주면서
이걸로 TNB 구하셈 이러고 있는데 왜 이러는지 공감이 안됨
한번 미분해서 단위화 시켜서 탄젠트벡터
탄젠트를 미분하고 크기로 나눠서 노말벡터
그것끼리 크로스해서 바이노말벡터
이렇게 TNB를 똑같은 방식으로 정의해도 자연스럽지 않아?
크기도 다 1이고
TNB끼리 직각이고 basis도 이루고
카파는 여전히 곡선이 휜 정도를 나타내 줄테고? 등등등
책에서 지금 하고 있는 게
단위속도 커브에서 TNB를 정의했는데
repara 함수를 구하기가 일반적으로 어려우니
미분 세번씩 들어가는 공식을 보여주면서
이걸로 TNB 구하셈 이러고 있는데 왜 이러는지 공감이 안됨
얼마나 빨리 그점주변을 지나가는지에 영향을 받으면 그게 과연 모양만을 반영하는 무언가일까
아니네 이거랑 다른얘기네. 본문 방향으로 정의 쌓는거 미적분학에서 해보지않나?
내생각에 arc length로 재매개화해놓고 시작하는 정의를 소개하는건 arc lenth가 재매개화 불변이라 그런거같음. 저거하나만으로 arc lenth로 정의하는 T,N,B,k,torsion 이 재매개화 불변임을 바로 말할수있고 곧 이게 모양을 반영하는 무언가다 라고 바로 얘기할수있으니까
니가 그렇게 해봐 B신아 노말이 수직이되나 - dc App
T랑 B는 똑같이 나오긴하는데 N이 안나옴 - dc App
g아여서 그런가 해보지도 않은티내네 그래그래 꼭 분모에도 t 함수 절대값으로쑤셔박혀있는데 미분 실컷해~ - dc App
수학자들이 다 지같이 힙스터병 걸린줄아나 항상 repara가능하니까 뇌병변 걸린애도 할수있게 해준거지ㅋㅋ - dc App
N이 왜 수직아닌지 모르겠음 설명좀
커브 두번미분한게 수직이아님 그렇다고 1로 만들어서 미분하자니 미분하기가 좆같음 차라리 repara하지 - dc App
님 두 번 미분한 게 수직이 아닌 건 알겠는데 제 말은 애초에 TNB를 임의속력곡선일때도 T= a'/ la'l N=T'/ lT'l B=TxN 이렇게 해버리면 안되나? 이거거든요 이렇게 정의하면 TNB가 수직인 건 맞죠?
T(s)가 단위속력이면 ＜T(s),T(s)＞=1이어서 미분하면 2＜T(s),T'(s)＞=0 -> T'(s)는 T(s)와 항상 수직이 되니 T'(s)를 그 크기 |T'(s)|로 나눈 것을 N(s)이라 하면 자연스레 {T(s), N(s)}이 정규직교가 되겠지만 ＜T(t),T(t)＞=f(t) (상수가 아닌 함수)이면 미분했을 때 2＜T(t),T'(t)＞=f'(t)이므로 T(t), T'(t)가 항상 수직이 되지 않습니다. 즉 임의속력곡선의 속도벡터 T(t)에 대해 T'(t)를 그 크기로 나눈 벡터 T'(t)/|T'(t)|에 대해 T(t)x(T'(t)/|T'(t)|)는 T(t), T'(t)/|T'(t)|와 수직이 되긴 하지만 T(t), T'(t)/|T'(t)|가 서로 수직이 아닙니다
그리고 이게 a가 임의속력곡선일 때 a'xa''/|a'xa''|로 B를 먼저 구하는 이유기도 합니다. a가 임의속력곡선이든 단위속력곡선이든 a''는 a'의 속도벡터이므로 a의 접촉평면상에 위치하게 되어 a',a''가 a의 접촉평면의 기저가 됨은 변함이 없기 때문에 접촉평면과 수직이 되는 벡터인 종법선은 그냥 a'와 a''를 외적한 것을 그 크기로 나눔으로써 쉽게 구할 수 있기 때문임니다
그리고 T와 B를 구하면 N은 그 둘을 외적함으로써 자동으로 따라와지게 됩니다.
횽님 항상 감사합니다
＜T(t),T(t)＞=f(t) (상수가 아닌 함수)이면 미분했을 때 2＜T(t),T'(t)＞=f'(t) 답글 중에 여기서요 a가 임의속력이어도 T는 a'/la'l 이므로 f(t)가 1아닌가요?
제 질문이 잘 전달이 안된건가 ... a(알파) 라는 커브가 있는데 단위속도라는 보장이 없음 ... 그러면 책에서는 repara해서 TNB 구하던가 아니면 dot이 3개 들어간 식 주면서 이걸로 TNB 구하던가 라고 해놓음 .. 여기서 제 의문은 애초에 TNB를 임의속력곡선일때도 T= a'/ la'l N=T'/ lT'l B=TxN 이렇게 해버리면 안됬냐 이말임
아 그러네요. 제 답변 내용도 틀렸구 질문도 제대로 못 읽었네요 이런 바보... 네, 님 말대로 그렇게 하면 T, N, B는 정규직교기저가 됩니다.
제 처음 댓글 T(t)를 a'(t)로 바꿔야겠네요 흐흐 죄송합니다
그런데 왜 임의속력곡선에 대해서 그렇게 정의하지 않았냐? 는 계산량을 보면 견적이 나옵니다. f=1/|a'|라 하고 fa'=T라 하면 T'=f'a'+fa''이고 이를 크기로 나누면 또 N=f'a'+fa''/|f'a'+fa''|... 그리고 이것과 T를 또 외적하면 정신이 나가 버리게 됩니다.
지금 그니까 어차피 임의속력곡선에 대해 프레네 세레 장치가 있는데 왜 단위속력을 따로 구분하냐 이거임?
단위속력일 때에만 TNB가 되는건 알고있고요?
단위속력을 항상 구할수가 없으니까요. 호의길이로 재매개화 가능하다는 건 강력한 방법이긴 한데 적분이 불가능한 경우도 있잖아요. 그럴 때는 이걸 어떻게 구할거냐? 라는 질문으로 돌아오게 돼요. 그래서 우리가 재매개화는 가능하니까 그 재매개화 가능한 상태에서 구체적인 적분식을 뽑아내진 말고 프레네 세레 장치와 같이 만들어보자. 하고 나온게 임의속력곡선인겁
임의속력곡선에 대한 프레네 세레 장치입니다. 그렇다고 무작정 모든 속력곡선에 대해서 그렇게 할 필요는 없고-계산량도 많구요- 호의길이로 매개화 가능하면 TNB를 아니면 임의속력에 대한 공식을 써라. 하고 구분되는거예요. 결국 시간이 지나면 해결해주겠지만 제가 지금 미기2 공부하는 기준으로 나중에 geodesic 풀 때 곡면에서의 직선도(엄밀하진 않음.
곡면에서의 직선에 대해 접근할 때(그런 문제가 있을진 모르겠지만 아마도 높은확률로) 좀 더 감이 오실거예요. 얘는 호의길이로 재매개화 하는 적분계산이 불가능한데? 그래도 매개화 방법은 가능하니까 임의속력곡선에 대한 식으로 생각해서 접근하자. 로 뻗어나가는 경우들이요
아 중간에 좀 수정. *호의 길이로 매개화 한 적분을 뽑아낼 수 있으면 TNB를 그게 안되면 그냥 호의 길이 식 자체만 가지고 임의속력 곡선에 대한 프레네 세레를.
아 지금 미분한 녀석의 크기로 나눠서 정의하면 되지 않냐 이런건가? 아 그건 안되지
Desmos에 프레네세레 장치 표현할 수 있는데 님이 생각한 방향대로 구해서 그려보셈
답변 감사합니다 잘 읽어볼게요 좋은밤 되세요^^