누군가 갤에서 계속 closed-form 으로 표현가능성에 대해서 질문이 올라와서 관련개념에 대해 내가 아는만큼 정리해봄

우선 closed-form 또는 expressibility 이라는거 자체가 잘 정의되지 않는 개념임 어디까지 표현을 할 수 있는지에 대한 합의가 되어 있지 않기 때문.

그렇기 때문에 우리가 어디까지 사용가능한 표현이 있는지에 따라서 표현가능성 역시도 달라진다고 생각함 가장 간단한건 사칙연산일테고 어떤 사람은 사칙연산으로 표현불가능 하면 (무리수) 그 수는 존재하지 않는다고 믿을수도 있겠지(피타고라스). 그래서 다양한 closed-form의 표현가능성에 대해 정리를 해봄.

개념 | closed-form 의 정의 | 예시 | 반례

유리수 | 유한개의 사칙연산 | 정수, 유리수 | sqrt(2)

constructible number | 사칙연산, 제곱근 | 2^{1/2} | 2^{1/3}

solvable by radicals(근의공식) | 사칙연산, n-th root | 2^{1/3} | 5차 방정식의 일반해

algebraic number | algebraic equation의 해 | n차 방정식의 해 | 초월수(pi, e, etc)


여기 까지는 수에 대한거고 algebraic number 이후로는 그냥 transcendental number이고 여기서 멈춤.

그러나 숫자가 아니라 함수로 보면 더 확장 가능한데 가능한 표현을 미분을 합치면 더 일반적인 개념이 가능함


algebraic function | algebraic equation의 해 | 유리함수, 무리함수 | 초월함수( e^x ,log(x),sin(x) ,etc )

elementary function | 사칙연산, 대수방정식의 해, exp, log | 지수함수, 로그함수, 삼각함수 | 오차함수( e^{-x^2}의 부정적분), Li함수( 1/log(x)의 부정적분)


여기 까지는 다 상위호환인 포함관계였지만 Liouvillian,Picard–Vessiot 는 서로 독립적인 관계임


Liouvillian function | 사칙연산, 대수방정식의 해, exp, 부정적분 | 오차함수 | Bessel function, 2차 linear ODE의 일반해, 일반 Picard–Vessiot 함수

Picard–Vessiot function | 사칙연산, 대수방정식의 해, n차 linear ODE의 해 | Bessel function | 일반 Liouvillian 함수


그리고 이 둘을 포함하는게 Pfaffian 함수임. 이 다음부턴 다시 상위호환임. algebraically transcendental function는 (nonlinear) ODE의 해가 되는 함수라고 보면 됨.

Pfaffian function | 대수방정식의 해, y'=polynomial(y) 의 해 | Liouvillian, Picard–Vessiot | gamma function

algebraically transcendental function | polynomial(y,y',y'',...,y^{(n)})의 해 | Liouvillian, Picard–Vessiot | gamma function

analytic function | polynomial들의 무한개의 sum (Taylor expansion) | gamma function | Fabius funtion

transseries | 유한개의 x^n,exp, log 들의 조합들의 무한합 | e^{-1/x} | tetration function

그 후로도 개념이 계속 있겠지만 결국 끝판왕은 Chaotic function (Lorentz system) 일거라 생각함. 그 어떤 함수로도 정확한 표현자체가 불가능한.