[일반] 양의함수, 연속이고 f는 적분가능, f^2가 적분 불가능한 함수

[익명(69.157)]

과제에 저는 이렇게 해서 냈거든요?

근데 조교가 틀렸다고 그래서 정답 물어보니까 thm 4.14 봐라 이딴식으로 파워트립하길래 물어보는건 포기했어요 ㅠ

암튼 양이고 연속, 0, inf 에서 f적분가능, f^2는 적분불가한 함수 있나요??

(R* in [0, inf) 이거는 딴데서 못본기혼데 그냥 이상적분 가능함 이런뜻)

[수갤러 1(119.202)]

적당히 만들면 가능하지 않나

[수갤러 1(119.202)]

기본적으로 함수값이 0이고, 2이상의 각 자연수 n들에 대해 [n - 1/n^3, n+ 1/n^3]구간에선 함수값이 n인 함수를 생각하면 (연속을 만들기 위해 [n - 2/n^3 , n - 1/n^3]구간에선 기울기가 n^4인 직선으로 연결, [n+1/n^3, n+2/n^3]에서도 마찬가지로 기울기 -n^4 직선으로) 적분값이 sum 4/n^2미만이니까 수렴할거고, 여기에 적당히 적분가능한 양함수를 더하면 적분가능한 양함수가 될 거고, 이 함수를 제곱한걸 생각해보면 필연적으로 적분값 sum 2/n보다 커야해서 발산할꺼 같은데

[수갤러 1(119.202)]

본문의 증명에선 L=lim f^2/f라고 했는데 이게 극한값이 존재하지 않는 경우에선 언급이 없는데 극한값이 존재 안할때도 생각해 봐야할듯

[익명(69.157)]

하... 해석학은 진짜 정답을 짜내야하는거 같네요ㅜㅠ 감사합니다!! 아그리고 lim+ lim-가 존재해야 연속이라 그냥 넘어갔는데 극한값이 없는경우가 있을까요?

[수갤러 1(119.202)]

위에서 반례로든것처럼 lim sup이랑 lim inf가 다른 경우엔 극한값이 양의 무한대로 발산도 아니고, 어떤 실수값으로 수렴하는것도 아니니까

[익명(69.157)]

아 진짜 그렇네요.. 따져야될게 너무많네요 ㅠ 감사합니다

[수갤러 2(220.82)]

없는거같은데

[익명(oen0c)]

연속함수를 제곱했는데 적분이 안될수가있나

[수갤러 3(175.203)]

x가 무한으로 갈때 f(x)가 수렴하면 f가 bounded니까 f가 적분가능하면 f^2가 적분가능한건 자명하고, lim f(x)가 존재하지 않는 반례를 만들어주면 됨. 직관적으로 disjoint한 interval [a_n,b_n]의 sequence를 잘 잡아주고 [a_n,b_n] 위에서 함수값 c_n을 갖게한다 치면 f의 적분값은 sum c_n (b_n-a_n)이 되고 f^2의 적분값은 sum c_n^2 (b_n-a_n)이 되는데, 예를 들어서 c_n (b_n-a_n) = 1/n^2이 되도록 만들어주고 b_n - a_n을 상당히 작게 (예를 들어서 1/n^3이 되게) 하면 c_n^2 (b_n - a_n) = 1/n이 되니까 f^2의 적분은 발산하겠죠.

[수갤러 3(175.203)]

연속성 조건은 a_n, b_n 주변에서 함수 잘 조정하면 f의 적분값과 f^2의 적분값을 상수배 내로 바꾸면서 연속이 되게끔 (혹은 더 좋은 regularity condition을 만족하게끔) 해줄수 있고요. 이런건 기본적으로 수열의 합에서 반례를 만들어주고 적분으로 만들어준다고 생각하면 반례를 떠올리기 쉬움.

[익명(69.157)]

아... 그렇게 되는구나.. 감사합니다!!!