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문제에 문제는 없는지, 다른 풀이 방법은 없는지 확인해보고 싶었는데 너무 난해하다는 말이 있어서 풀이를 올려봄

혹시라도 문제 있으면 지적 바람


우선 (가) 조건을 보면 f(x)가 정의역과 공역이 x>=p일 때, 역함수가 존재하는 p는 하나뿐이라고 나와있음 

역함수가 존재하려면 일대일 대응이어야 하는데 그 말인 즉슨 f(p)=p로 치역 역시 같아야 한다는 뜻임

그렇다는 것은 점 P(p,f(p))는 y=x위의 점이라는 것을 알 수 있음 그런데 그런 p는 1개만 존재하므로 y=x와 f(x)가 접한다는 사실을 (가) 조건을 통해 알 수 있음(물론 p는 축보다 오른쪽이어야 할 필요가 있음)


(나) 조건은 m이 f(x)의 최솟값이고 x=t에서의 함숫값이라는 설명을 통해 f(x)=a(x-t)^2+m 꼴이라는 것을 알 수 있음 그런데 (가) 조건을 보면 f(x)는 y=x와 접하므로 f(x)=x인 이차방정식에 대해 D=0일 것임

따라서 ax^2-2atx+at^2+m=x이고 ax^2-(2at+1)x+at^2+m=0임 D=(4at^2+4at+1)-4{(at)^2+am}=4at+1-4am=0이므로 4a(t-m)=-1이고 정리하면 m-t=1/4a임

그런데 1/4a이 최댓값을 가진다고 하고 있음 그러면 제시한 a의 식을 통해 1/4a=-(4t+8)/(t^2-t-2)라는 것을 알 수 있음

이때, 분모를 (t+2)(t-3)+4로 변형할 수 있고 분자와 분모를 t+2로 나누게 되면

-4/{(t-3)+4/(t+2)}=-4/{t+2+(t+2)/4-5}로 변형 할 수 있음 

그런데, t>-2이므로 t+2>0임 따라서 산술 기하를 사용하면 t+2+(t+2)/4>=4이고 분모가 클수록 전체 수는 작아지므로 최댓값은 앞의 식이 최솟값일 때 성립함

즉, 1/4a=-4/(4-5)=4이고, t=0임(t+2=(t+2)/4=2) 즉, a=1/16임 (이렇게 나눠서 산술 기하 사용하는 건 ㄱㅈㅇ 아이디어를 차용함)


이제 (다) 조건을 보면 b=+-2인 건 당연하고 절댓값은 0보다 크거나 같은데 -를 붙여서 서로 다른 부호임에도 같다고 하는 것은 0일 수밖에 없음 따라서 alpha와 beta는 g(x)의 근이고 서로 다르다고 하였으니 각각 다른 근이라는 뜻임

그리고 두 근의 합은 m/2=2임 따라서 2x^2-4x+k 또는 -2x^2+4x+k가 g(x)의 식이 됨

그리고 g(-1)g(2)<=0이므로 (k+6)k<=0 또는 (k-6)k<=0임 따라서 -6<=k<=6이고 S=0, 최댓값 M=6이 나옴 

물론 서로 다른 alpha,beta이므로 판별식 D/4 != 0이어야 하니 4+-2k != 0 k != +-2이지만 양쪽에서 각각 2,-2가 사라졌으니 합에는 무관하고 최댓값과도 무관함 물론 이걸 간과하든 안하든 영향이 없다는 점은 약간 아쉬운 거 같음

따라서 정답은 6(덧붙이자면 g(0)=k라는 것은 y절편의 정의에 의해서 k가 g(x)의 y 절편이라는 뜻임)


덧붙이는 김에 더 말하자면 사실 (가) 조건에서 p는 축보다 오른쪽에 있어야 하기도 함 그러나 f(x)=(1/16)x^2+4이므로 축의 방정식은 x=0임 그리고 f(x)=x를 정리하면 x^2-16x+64이고 당연히 중근은 x=8이므로 성립함