(사실 난 이 문제 풀이법은 해당 수학분야 전공책에 따로 수록되어 있긴 한데 정작 Hand-Made(정석적인) 방식의 풀이법을 잘 몰라서 낸다는 건 안 비밀)
단, 왼쪽 항을 오른쪽 항으로 어떻게 변형시킬 수 있는지를 구체적으로 설명해야 하며 그 반대로 오른쪽 항으로부터 완쪽 항으로는 "절대로" 유도하지 말 것
실제로 감마함수와 베타함수의 관계 그리고 여기에 르장드르 2배 공식을 적용하면 상대젹으로 쉽게 반추할 수 있으나 이렇게 하면 상당히 식상하게 끝나기도 하고 애당초 문제 취지 자체가 저 급수를 갖고 해결해야 하므로 오로지 왼쪽 항 급수를 변형하는 것 만으로 오른쪽 항 식을 얻어낼 수 있어야함
아주 쉽게 말하자면 걍 중고딩(혹은 대학 미적분학 까지 포함)수준의 기초적인 수식 계산만으로 왼쪽 식을 오른쪽 식으로 변형하는 게 가능한가를 물어보는 거임 근데 아무리 이런 방식의 풀이를 떠올리려 해도 감이 잘 안잡히더라고
- dc official App
x가 자연수일때 식이 성립하는걸 보이면 충분하니까. 임의의 자연수 m에 대해서 좌변에 x=m을 대입한건 함수 f_{m,n}(y) = \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} (-1)^r y^{m+r} / (m+r)에서 y=1을 대입한것과 같은데, f_{m,n}'(y) = x^{m-1} (1-x)^n이니까 좌변 f_{m,n}(1)은 x^{m-1} (1-x)^n을 [0,1] 위에서 적분한 것과 같게됨. I_{m,n} = f_{m,n}(1)로 두면 부분적분에 의해서 I_{m,n} = (m-1) I_{m-1,n+1} / (n+1)을 얻게 되니까 계속 반복하면 I_{m,n} = (m-1)! n! I_{1,n+m-1} / (n+m-1)!를 얻는데 I_{1,n+m-1} = 1/(n+m)이니까
I_{m,n} = (m-1)! n! / (n+m)!을 얻음. 따라서 본문의 식의 좌변=우변은 임의의 자연수 x에 대해서 성립하므로 임의의 실수 x에 대해서 성립. 주저리주저리 적어놨는데 그냥 베타함수 B(x,y)에 대해서 x,y가 둘다 자연수일때 식을 부분적분써서 유도한것 뿐임
나머지는 그럭저럭 한데 f_{m,n}'(y) = x^{m-1} (1-x)^n 이 부분은 어떻게 유도한거임? 곧바로 유추될 것 같진 않아보이는데 그리고 네 풀이대로 한다면 결국 어떤식으로던 간에 베타함수와 같은 적분형으로 변형해 풀게 되는거 아님? 이미 그러한 솔루션에 대해선 익히 알고 있긴 하지만 정녕 이 방법 말곤 해법이 전혀 없는거라면 뭔가 허탈하네 - dc App
이항계수의 정의로부터 f_{m,n}'(y) = y^{m-1} \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} (-1)^r y^r = y^{m-1} (1-y)^n. 조합적으로 증명하는 방법도 있긴한데 어느정도 발상을 요구함
아 x와 y가 혼용되어 있어서 곧바로 안보였나 보네 이해했음 - dc App
근데 조합적으로 증명하는 방법이 어떻게 되는지 알려줄 수 있음? 특히 베타함수 및 여타 특수함수 개념이나 적분 변형 안사용하고 푸는 방법이라면 더 반가울듯 - dc App
https://math.stackexchange.com/questions/72067/
오 ㄱㅅㄱㅅ - dc App
읽어보니 막연히 떠올릴 만한 그런 발상이 아니네 ㄷㄷ 조합론 관련 분야들이 확실히 재능타는 그런게 있는건가 - dc App
엄청 까다로운 발상까지는 아니고, 저렇게 좌변처럼 alternating sum이고 이항계수 껴있으면 어떻게든 포함배제의 원리나 involution 같은걸 잘만들어서 닫힌형태로 만드는게 일반적인 접근법이긴 함
x가 자연수가 아니면 중고딩은 절대 못 풀어요
x가 구체적인 자연수로서 제시되어 있지 않고 저렇게 변수 형태로만 표시되어 있으면(심지어 x=n이라 하더라도) 중고딩 교육과정 내에서 절대 못푼다는 소리임? - dc App
구체적인 자연수로 제시되야 한다는게 아니라 x가 자연수란 조건이 안붙으면 중고딩 수준에선 불가능하다는거임
x에 아무 제한조건이 안붙었을 경우 예를들어 x=1/2이란 값을 대입해서 생각해보면 좌변은 아무 문제없이 잘 정의되는 덧셈형태인데 우변에 적힌 식은 애초에 중고등학생의 수준에선 정의부터가 안되는 식이잖음
아 그건 맞긴 함 다만 위에 대학 미적분학까지 포함이라고 헸었으니 감마함수에 대한 지식이 어느정도 있다면 풀 수 있을거라고 봤던거임 ㅇㅇ - dc App