[일반] 밑에 로피탈보고 궁금해진거

[익명(223.39)]

f, g가 실수전체에서 미분가능 & f'>0, g'>0이고,
f(0)=g(0)=0, lim x->0 f(x)/g(x) = 2, f'(0)/g'(0)=2이면
lim x->0 f(x)/g(x) = lim x->0 f'(x)/g'(x)가 성립함?

[아스마토키(zyw321)]

반례 f(x)=x²sin(1/x)+2x (x≠0), 0 (x=0) g(x)=x f'(x)의 x→0 극한이 존재하지 않음

[아스마토키(zyw321)]

흔히 말하는 도함수가 불연속인 함수임 도함수의 극한이 발산해서 수렴하지 않음

[익명(physics7418)]

0에서 미분 안되는거 같은디 - dc App

[아스마토키(zyw321)]

x≠0일 때 {f(x)−f(0)}/(x−0)=xsin(1/x)+2 위 식의 x→0 극한은 −1≤sin(1/x)≤1에서 x>0 일 때 −x≤xsinx(1/x)≤x x<0 일 때 −x≥xsinx(1/x)≥x x→0+, x→0− 극한을 각각 취하면 함수의 극한의 대소관계에 따라서 가운데 항이 0으로 수렴하므로 lim x→0, xsin(1/x)=0 따라서 f'(0)은 첫줄의 x→0 극한인 2