이정도면 짧은 제목에 제대로 욱여넣었다
질문. 일단 체k의 finitely generated 벡터공간 범주 k-Vect의 skeleton을 잡아서 pi(k-Vect)라고 두면
이것이 크지 않아 set이고, 그 원소는 벡터공간의 동치류임: [V]라고 표기함.
이제 k-Vect에서의 exact sequence 0 -> U -> V -> W - 0에 대해 [U] - [V] + [W]로 생성된 group을 G라고 하고,
pi(k-Vect)의 원소로부터 생성된 free abelian group을 F(k-Vect)라고 하면
그로텐딕 군 K(k-Vect) = F(k-Vect)/G다.
여기까지가 구성인데 일단
1. 도대체 iso. class들을 어떻게 더하고 빼는거임? 마치 덧뺄셈이 자유롭듯이 거기서 exact만 모아 오일러 지표가 0인 것만 모으고, iso.class를 벡터공간의 좌표 삼듯이 free abelian group을 만들고... 대체 이게 무슨소리임? 그냥 formal sum이라고 생각하면 되는거임?
2. G가 group이라는데 뭔 exact를 잡아야 그게 역원임?
몇번 읽어보니 일단 formal sum이라고 생각하고 봐야 할 것 같은데 지금까진 sum에 의미가 있겠거니 하며 봐와서 계속 고민중이지만 잘 안풀려서 난처함.
U, W를 V의 split이라고 생각하고 sum을 span같은걸로 보면 다 0이 되고, 그러자니 그냥 차집합으로 보면 큰 공간에서 작은 공간만 삭 뺀 것 같고... 하아
질문. 일단 체k의 finitely generated 벡터공간 범주 k-Vect의 skeleton을 잡아서 pi(k-Vect)라고 두면
이것이 크지 않아 set이고, 그 원소는 벡터공간의 동치류임: [V]라고 표기함.
이제 k-Vect에서의 exact sequence 0 -> U -> V -> W - 0에 대해 [U] - [V] + [W]로 생성된 group을 G라고 하고,
pi(k-Vect)의 원소로부터 생성된 free abelian group을 F(k-Vect)라고 하면
그로텐딕 군 K(k-Vect) = F(k-Vect)/G다.
여기까지가 구성인데 일단
1. 도대체 iso. class들을 어떻게 더하고 빼는거임? 마치 덧뺄셈이 자유롭듯이 거기서 exact만 모아 오일러 지표가 0인 것만 모으고, iso.class를 벡터공간의 좌표 삼듯이 free abelian group을 만들고... 대체 이게 무슨소리임? 그냥 formal sum이라고 생각하면 되는거임?
2. G가 group이라는데 뭔 exact를 잡아야 그게 역원임?
몇번 읽어보니 일단 formal sum이라고 생각하고 봐야 할 것 같은데 지금까진 sum에 의미가 있겠거니 하며 봐와서 계속 고민중이지만 잘 안풀려서 난처함.
U, W를 V의 split이라고 생각하고 sum을 span같은걸로 보면 다 0이 되고, 그러자니 그냥 차집합으로 보면 큰 공간에서 작은 공간만 삭 뺀 것 같고... 하아
1. pi(k-Vect) 은 자연수랑 동형이고 K(k-Vect) 은 정수랑 동형이죠. 이경우엔 그냥 차원을 더하고 빼는거에요. [V]+[W] = [V와 W의 direct sum] 이렇게 됨. 2. ' [U] - [V] + [W]로 생성된 group을 G' 이게 무슨말인지 모르겠네요, F(k-Vect)을 먼저 정의하고 [U] - [V] + [W] 들로 subgroup을 generate 한다음에 자릅니다. 이때는 모든 exact seq를 다 모아옵니다.
아하!!!!!!!! 그냥 formal sum이고 여기서 exact인것만 갈라줌으로써 차원의 합을 unique하게 구할 수 있다는 말이네 캬~~~~~ 동치관계에 덧셈을 주기만 하면 아무 군이나 만들 수 있다?
[U]의 역원은 걍 formal한 원소인 -[U]이자나 자유군 생성이 먼지 모르노