[일반] 내가 두 metric이 같은 위상을 만들면 Cauchy가 같이 간다는 걸

[뽈펜(ieieiei)]

옛날에 내가 임의의 집합 X의 두 metric이 같은 위상을 만들 경우, 임의의 sequence가 한 metric에 대해 Cauchy면 다른 metric에 대해서도 Cauchy라는 걸 증명했었는데 반례가 있었네.그거 증명하고 뿌듯한 마음으로 결과만 수학 책에 써놨었는데 어제 지웠음. 증명은 안 적어놔서 어디서 틀렸는지를 확인할 수가 없다.

[뽈펜(ieieiei)]

내가 ZFC가 모순인 예를 찾은 걸수도 ㅋㅋ

[익명(175.203)]

당연히 두 metric이 topological하게 equivalent한게 Cauchy라는걸 보존하지는 않음. X={1/n ; n은 자연수}에 discrete metric을 줄수도 있고 (i.e. x와 y가 다르면 d(x,y)=1) , 실수의 metric으로부터 induced된 metric을 줄수도 있고 전자와 후자 모두 discrete topology를 induce하지만 후자의 경우 {1/n}은 Cauchy인데 전자의 경우는 Cauchy가 아니지.

[익명(175.203)]

Cauchy sequence 여부를 보존하려면 예를 들어서 strongly equivalent하다든지 (i.e. 어떤 c,C>0이 존재하여 cd_1(x,y) <= d_2(x,y) <= Cd_1(x,y)를 만족) 이것보다 약한, 임의의 e>0에 대해서 어떤 d,d'>0이 존재하여 d_1(x,y) < d이면 d_2(x,y) < e를 만족하고 반대로 d_2(x,y) < d'이면 d_1(x,y)<e를 만족한다, 같은게 성립해야 Cauchy sequence 여부가 보존됨. 물론 이 두개도 Cauchy sequence를 보존하는것과 동치가 아님. (반례는 쉽게 만들수 있음)

[뽈펜(ieieiei)]

ㅇㅇ 내가 구글에서 찾은 게 저 반례야 ㅋㅋ

[익명(175.203)]

여하튼 Cauchy 같은건 오로지 metric에만 의존하는 성질이라서, metric이 induce하는 topology를 이용해서 어떤 수열이 Cauchy임을 보인다든지 이런건 일반적으로 불가능하단 것임. 다른 예로 boundedness같은것도 오로지 metric에만 의존하는 성질이라서, metric이 induce하는 topology와는 별 상관이 없음. 단적으로 d'(x,y)=min(1,d(x,y)) 같은 새로운 metric 잡아버리면 생성하는 topology는 같은데 항상 bounded하게 만들수 있으니까.

[익명(175.203)]

내가 보기에는 [임의의 X의 수열 {a_n}에 대해서 (X,d_1)에서 {a_n}이 수렴 <=> (X,d_2)에서 {a_n}이 수렴]을 만족하는것과 (X,d_1)과 (X,d_2)가 topologically equivalent하다는걸 증명했던게 아닌가 싶음. 이 경우는 Cauchy seq를 보존하는것보다 더 약한 성질이기때문에 (Cauchy 수열이 항상 X 위의 어떤 점으로 수열한다는 보장은 없으니) 참이 됨.

[익명(175.203)]

왜냐하면, (=>)방향을 따지면 metric space들의 임의의 closed set A에 대해서, A의 임의의 원소 a에 대해서 a로 수렴하는 A의 원소로만 구성된 sequence {a_n}이 항상 존재하므로, 결국 sequence의 수렴성이 같으면 어떤 집합의 closedness 여부도 같게 되어서 같은 위상을 만들게 되기 때문. (<=)는 결국 임의의 sequence (x_n)이 x로 수렴하는건 x를 포함하는 임의의 open set U에 대해서, 어떤 N이 존재해서 n>=N이면 x_n이 U 안에 항상 들어오는것과 동치이기 때문에, 결국 수렴성은 metric과 관계가 없이 오로지 open set만 이용해서 기술할 수 있기 때문.

[뽈펜(ieieiei)]

ㅇㅇ 근데 그걸 증명했던 건 아님. 분명히 "d_1과 d_2가 같은 위상을 만들 경우, 코시 코시가 같이 가고 수렴 수렴이 같이 간다" 같은 식으로 써놨었음.