사진에서 Ui라는 집합족이 어떤 집합의 열린 덮개인가요?
만약 Y의 덮개라면 Y가 각각의 Ui에 대해서 포함관계를 알 수 없지 않나요?
f -1 (Y) = f -1 (UUi) 면 이 증명 과정에서
U Ui =Y가 되도록 덮개를 잡은 건가요?
사진에서 Ui라는 집합족이 어떤 집합의 열린 덮개인가요?
만약 Y의 덮개라면 Y가 각각의 Ui에 대해서 포함관계를 알 수 없지 않나요?
f -1 (Y) = f -1 (UUi) 면 이 증명 과정에서
U Ui =Y가 되도록 덮개를 잡은 건가요?
y의 덮개가 compact임을 보이는것
Y의 덮개인데 f의 공역이 Y를 벗어나지 않으니까 Ui의 합집합의 inverse image나 Y의 inverse image나 같을 수밖에 없음
y가 옹골집합임을 보이는 거니까, y를 덮는 임의의 열린 덮개 중 유한부분덮개를 찾는 방식을 보이는 것. 나도 해석학 시작한 지 얼마 안 되어서 확실하지는 않는데, Y와 각 U_i의 포함관계에 대해서는, Y와 U_i가 어디의 부분집합인지 명확하게 주어지면(예를 들면 R^n) Y의 "임의의 열린 덮개이므로“ X에 대해 f-1(U_i)가 아니라 f-1(Y 교집합 U_i)이라고 언급하는 게 더 맞을 거라고 생각함. 그런데 여기서는 좀 더 일반적인 경우를 위해(콤팩트성은 집합 자체의 성질이니까) Y의 임의의 열린 덮개를, Y에서 열린 U_i를 union하여 Y를 덥는 임의의 열린 덥개를 논하는 게 아닐까 싶음. 그러면 Y의 임의의 열린 덮개는 Y에서 열린 집합들을 모아 만든 거니, - dc App
union U_i는 Y와 같지. - dc App
"함수"는 자연스럽고? 옹골지다는 표준어야.
Y가 컴팩트임을 보이려면 증명이 뭐로 시작해야 할까? - dc App
일단 {U_i: i∈I}는 Y의 open cover입니다. Y의 open cover가 finite subcover를 가진다고 하는 것이 증명의 목표기도 하고... 그러면 연속함수에 대해 open set의 inverse image는 open in the domain이니 {f^(-1)(U_i): i∈I}는 X의 open cover고 X는 compact하니까 그 finite subcover를 찾을 수 있습니다. J가 I의 finite subindex고 {f^(-1)(U_i): i∈J}가 X의 open cover라고 하면 {U_i: i∈J}는 Y의 finite subcover of {U_i: i∈I}입니다. 증명을 완성하죠. f가 surjective하기 때문에 Y=f(X)=f(∪f^(-1)(U_i)(i∈J))=
∪U_i(i∈J)이라는 사실에 따릅니다.
일단 이 단원 맨 앞에 X, Y, Z는 좌표공간의 부분집합이라고 못박아 놔서, 이 사실이랑 같이 생각해보자구. union U_i 는 공역 Y을 감싸고 있으니까 union에서 공역을 뺀 나머지 집합, 그러니까 차집합의 역상은 공집합이 되는거고
(차집합 부분은 어처피 정의되는 영역이 없으니까)
로 직관적으로 이해 하는게 더 좋을 것 같다. 그래서 Y의 open cover 인것도 맞고, 이젠 굳이 마지막의 질문 없이도 이해할 수 있겠지?
근데 사실은 open 같은 개념은 '누구의' 라는 소유격이 붙는데 반해 (예컨대 T는 S의 open set 이다, A는 R^n의 open set이다) compact나 bounded closed set은 그 소유격이 누구인지에 대해 개념 자체가 불변임. 그래서 각각 open set U_i가 좌표공간의 open set 이라고 말해도 되고, Y의 open set 이라고 말해도 됨. 이러면 마지막 질문에 대한 답변은, "그렇게 덮개를 잡아도 증명의 내용에는 변화가 없다."