다변수 미적분 공부중인데 잘 모르는 부분이 있어 질문드립니다
x^2 + xy +y^2 =27 이라는 타원이 있을때
이 타원의 y값이 최대 최소값을 가지는 이유가 뭔가요?

최대 최소값 구하는 방법은 y를 x에 대한 함수로 보고
dy/dx = 0 이나 정의되지 않은 지점에서 최대나 최소 값이
나타난다는것도 방법만 알지 솔직히 이해가 잘되지 않습니다...

제 대략적인 생각은 S= {(x,y):x^2 + xy +y^2 =27} 이 컴팩트하고
y값이 열린집합에서 국소적으로 x에 대한 매끄러운 함수로 표현 될수 있을때 그 열린 집합보다 작은 닫힌집합으로 y를  제한한 다음에
그보다 더 작은 열린집합으로 open cover를 구성하면
컴팩트성 때문에 유한한 갯수의 닫힌집합으로 S를 커버 할수 있으니까 그 유한한 닫힌집합속에서 max min값을 구하고
그값들의 최대 최소가 global max min이 되서
y가 최소 최대값을 갇는다 정도가 제 나름의 생각이네요.

문제는 y = -x/2 부분은 음함수 정리가 적용이 안되는데 이거는 잘 모르겠어요.

걍 전체적인 아이디어 자체가 말도 안되는것 같고
그냥 개념자체를 잘못 이해한것같아요...