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이거는 틀을 잡아주기 위해서 쓰는 글임.
사실상 수학은 가설이다. 가설 검정이 곧 수학 연구의 방법이다.


어거지로 설명해가며 읽는 애들도 있을텐데, 사실 그렇게 하면 본인의 개성이 들어가서 자신이 쓰는 증명의 질이 떨어진다.

그래서 나는 결론에 도착하기 위해서 결론을 가정의 언어로 해석하는 방법을 쓴다. 그니까 결론을 빙산의 일각으로 간주하고, 점진적으로 증명을 연장시키라는 말이다.

뭔 개소리냐고?

위상수학 전공자들 중에는 호모토피 설정하기가 제일 짜증날 테니, 그걸로 예시를 들어 보겠다.

그림의 정리 5.9로 예시를 들겠다. 나는 호모토피를 잡는데도 기본기가 있다고 생각한다. 기본기가 갑자기 왜 나오냐면, H(s, t, x)를 범위에 따라서 늘어놓은 것에도 숨은 의도가 있다는 것이다.

자세히 보아라. deformation retraction이랑 같은 형식으로 짜깁기한 호모토피에 불과하다.

첫줄의 H는 왜 그따구로 잡혔냐고? t가 0에 도달했을 때에 s에 관계없이 deformation retraction의 정의 1번과 같은 꼴이 되도록 잡힌 것이라고 누구든 눈치챌 거니까 생략한다. 결국 호모토피의 끝점이 확장될 대상이니까 s=1이어도 성립한다.

둘째줄의 H는 s=1일때 f(x)가 되도록 하는거니까 이것도 쉽고, 문제는 3번이다.

자세히 보면 s=1일때 t에 관계없이 a와 같다. 그러니까, 어떤 값을 무시하는게 가능하도록 G(t, x)의 t만 조작하면 된다는 것이다.

4번은 당연히 전제되어야 하는 시점이고.

그러니까 이걸 이해하는 꿀팁을 알려주겠다.
일단 어떤 정의에 도달할 지가 애매하다면, 호모토피를 잡아라.
정의가 조건으로 구성될 수록 끝점이 조건을 만족한다고 생각하라.

그럼 또다른 호모토피로 얼마든지 묶는 게 가능하다.
쉬운 말로 하면, 도달할 호모토피의 성질은 끝점의 성질이고, 그 빙산의 일각을 통합하라는 말이다.

아마 위상수학 대학원생들 중에서 잘하는 학생들은 이미 알 거다.
하지만 걔네들이 똑똑해서 스스로도 인지하지 못하는 것 같으니까 노력해서 그놈들을 겨우 파악한 내가 알려주는 거다. 이 글을 읽는 분들은 석사과정생들 중에도 위상수학 전공자가 될 것이다.
이거는 GTM을 읽기에 유용한 방식이다. 그냥 읽기만 하지말고 마이너한 체계에서 중요한 구조를 이해하도록 하자.

그리고 단원의 특성에 맞게 공부해라.
단원의 특성이란, 기초 연산인지, 아니면 그냥 기본적인 용어의 성질들을 밝히는 것인지, 혹은 추상도를 올리기 위해서 보편 규칙을 제한된 도구로 찾든지 등이다.

호몰로지 대수마저도 그냥 화살표 게임이 아니라 화살표를 연산해서 뭔가 이득이 되는 결과를 얻기 위해 배우는 거다.
세번째 사진이 보이나? 이것도 기초적인 산수로서 추상적인 결론을 얻어낸 것이다.

그들이 이걸 읽을지는 몰라도 암튼 적어봤다. 그럼 수학을 즐겨라!
파이팅

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