sin(ab)를 sina와 sinb로 나타낼 수 있다는 것은

sina의 값과 sinb의 값을 알면 항상 sin(ab)의 값을 알 수
있다는 것이고, 이는


sin(ab)=f(sina,sinb)인 함수가 존재한다는 것과 동치입니다.

이런 함수 f의 존재를 가정해봅시다.

그러면 b=1을 대입했을 때,

sin(a)=f(sin(a),sin(1))이 모든 a에 대해 성립해야합니다.


b=2pi+1을 대입해봅시다. 앞서 보인 등식에 의해

sin(a*(2pi+1))=f(sin(a),sin(2pi+1))
=f(sin(a),sin1)=sin(a)

가 모든 a에 대해 성립해야합니다.

하지만 a=1/2일때, sin(1/2*(2pi+1)=sin(pi+1/2)=
-sin(1/2)이고, sin(1/2)는 0이 아니므로 sin(1/2)과 같지 않습니다.

즉 모순이 발생하였으므로, 귀류법에 의해

애초에 이런 함수 f는 존재할수가 없게됩니다.

즉 sin(a)와 sin(b)의 값을 안다고 해서 sin(ab)의 값을 알 수는 없습니다.

그렇다면 sin(a),sin(b) 뿐만 아니라
cos(a),cos(b)도 안다면 어떨까요?

이 경우도 마찬가지로

sin(ab)=f(sin(a),sin(b),cos(a),cos(b)) 인 함수 f의 존재를
가정하고,

b=1 , b=2pi+1을 차례차례 대입하면 모순이 됨을 유사하게 알 수 있습니다.

즉 sin,cos의 a b값을 모두 안다고해도 sin(ab)값은 알 수가없습니다.

이는 sin cos의 선형결합꼴로 안나타난다정도가아닌,
어떠한 병리적인 함수를 가져와도 안된다는것을 시사합니다.

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