Latex에 넣어보세요. 그럼 더 답안이 알아볼 수 있도록 나옵니다.

사진 1,2번처럼요.

Edit: 제 풀이가 틀렸다면 마음껏 물어뜯어 주세요.

전 수학을 더 잘하고 싶기 때문에 그정도는 참고 넘깁니다.

저의 스승이 되어 주세요.

이 증명은 대수적으로 닫힌 체 k의 대수적 폐포가 k 자신과 같다는 걸 전제하고 있습니다. k의 완전 갈루아 확장체인 k의 모든 순환 확장의 합성은 대수적으로 닫혀 있음 또한 마찬가지로 전제됩니다
Let $k$ be a perfect field and $kª$ be a algebraic closure.

$sigma in G(kª/k)$ be an element of infinite order.

And suppose that fixed field of $sigma$ is $k$.

$K_p$ be the composite of all cyclic extension of $k$ which has order $p$. => $kª$ is compositum of all $K_p$ for all primes $p$.


proof) Let's use that $Emb_k(Phi_ {i=1} ^{infty} K_{p_i} to kª)$ $subset$ $Aut_k(Phi_ {i=1} ^{infty} K_{p_i})$. (Because cyclic extension field is normal extension.)

Let some embedding $sigma$: $mathbf k$ª $to$ ($mathbf k$ª)ª = $mathbf k$ª over $mathbf K_{p_1}$...$mathbf K_{p_n}$ for all primes $p_i$. Then, one of them can be identity function, so $mathbf k$ª is smallest normal extension of $mathbf K_{p_1}$...$mathbf K_{p_n}$ containing $mathbf K_{p_1}$...$mathbf K_{p_n}$ . Because $mathbf K_p$ are normal, because cyclic extensions are normal, and Compositum of Normal extensions are normal.

So, $mathbf k$ª is a minimal galois extension of $prod_{i=1} ^{infty}$ $mathbf K_{p_i}$ containing $k$ª. all galois extensions are algebraic, so $mathbf k$ª is contained in all galois extension of field compositum. This field is also normal over $mathbf K_{p_1}$... $mathbf K_{p_n}$, Normal extension is algebraic. algebraically closed extension of algebraically closed field is itself.

So, all galois extension of compositum field is $mathbf k$ª. And, $k$ª $=$ $(prod_{i=1} ^{infty}$ $mathbf K_{p_i})$ª because $k$ $subseteq$ $prod_{i=1} ^{infty}$ $mathbf K_{p_i}$, and $prod_{i=1} ^{infty}$ $mathbf K_{p_i}$ $subset$ $k$ª. So, from this, normal extension of $prod_{i=1} ^{infty}$ $mathbf K_{p_i}$ containing $k$ª is unique, and the unique field is $prod_{i=1} ^{infty}$ $mathbf K_{p_i}$. So, It says required result.(Idea of my proof is, $prod_{i=1} ^{infty}$ $mathbf K_{p_i}$ is algebaically closed field.)
완전체에 대한 모든 순환확장체의 합성체가 대수적으로 닫힌 이유

* 갈루아 확대체의 합성체는 갈루아확대체

* 완전체의 유한확대는 분리이다.

* 체의 분리확대는 순환확대체의 합성으로 표현 가능하다.

따라서 완전 갈루아 확장체의 모든 순환 확장의 합성체는 체의 모든 유한 분리 가능한 확장을 포함하는 갈루아 확대입니다. 체 위의 모든 분리 가능한 유한확대가 포함되므로 그것들의 모든 합성은 대수적으로 닫혀 있다고 증명할 수 있습니다.







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