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사실, 대학원 시기 부터는 지식을 떠먹여주지 않는다는 걸 다들 알고는 있을 것이다. 자잘한 기호의 사용 목적부터 그것의 테크닉들이 정리의 형태로 세분화되긴 하지만, 대학원의 서적들은 너무나도 불친절해서 정리들을 어떻게 적용해놓은 기호로 다룰지 쉽게 알 수가 없다. 딱 그 많은 정보들 중에서 빙산의 일각만 보여주고 있는 셈임. 게다가, 그 논리적 비약을 증명한다는 것은 보통 일이 아니다.

그래서, 증명을 해내는 데에 있어서 내가 알아낸 방법은, 대충적으로 적용가능한 특정 유형의 대상에 대한 구조들의 성질을 최대한 이용하는 것이다. 결론과 최대한의 관련성을 가지기만 하면 된다.

쉬운 예시를 들자. 유클리드 공간의 "metric"이란 무엇때문에 정의된 것이냐면, 다 정보를 캐내라고 있는 것이다. 즉, 인위적으로 정한 척도이다. 실재하는지 아닌지는 알 바가 아니다. 우리가 다루기 쉽도록 만든 규칙일 뿐이니까.

조금 더 어려운 예시를 들어보자면, 14.8의 (1)번에서 CW 복합체가 콤팩트 공간 <=> 유한임이 어떻게 성립할까?
[여기서 요점이 되는 구조란, 바로 복합체의 차원일 것이다.]
답은 간단하다. 이렇게 증명했다.
X는 컴팩트 => X는 유한
유한한 스켈레톤으로 표현되지 않는 경우, k개의 "원소가 k개인 덮개"를 선택하자. 그런 다음 열린 덮개의 결합을 X개의 덮개의 원소로 간주하자. 그런 다음 덮개의 원소를 선택하는 유일한 유한한 개수를 선택할 수 있다. (n_k를 k개의 셀에서 원소의 결합을 위한 덮개의 원소 개수라고 함.)
그런 다음, 무한 k의 경우 이 덮개의 원소 수는 n_1 × ... × n_k × ...입니다. X가 콤팩트하다고 가정하면, 유한한 수의 n_i만이 1이 아닌 X의 덮개가 존재한다. 따라서 그 후항이 1이라는 최대 수가 존재함. m으로 그것을 선택하면, 어떤 k>m이 총 원소 수가 1이 아닌 덮개를 가지고 있다고 가정하지 않을 때, 수 m의 최대치와 모순되므로 다른 덮개를 선택할 때 m의 이후 항은 항상 1. 따라서 k>m은 하나의 열린 집합만 가지고 있어서 I_k임. 따라서 I_k는 비어 있다. 또한 일부 I_k가 유한한 수의 세포를 가지고 있지 않을 때, 이는 X의 콤팩트함에 모순.
유한 => 컴팩트
유한 유형 X가 콤팩트하지 않다는 것은 유한 차원 폐쇄 디스크의 유한 합의 콤팩트성과 모순.
X가 유한 차원 CW 구조를 가지고 있다면 유한 차원 디스크의 유한 결합만이 콤팩트하다. (X가 유한한 유형을 가지고 있고, 덮개 원소의 수가 유한하며, I_k의 최대 차원 수가 유한하다는 사실에 의해 유한 차원 디스크의 유한 결합은 콤팩트하다. 콤팩트성은 위상적 속성이다. CW 복소의 정의에 따라, 일부 동형 사상으로부터의 상은 콤팩트하다.)

더 자세히는, 그 이후가 항상 1이라는 최대 m이 존재하지 않는다면, 1이 아닌 n_k의 수는 무한대일 뿐임. 이는 X의 콤팩트성에 모순.
3. I_k에 일어난 모순은 X가 축소가능하지 않은 닫힌 집합을 가지고 있다는 것임. 그러면 X는 축소가능하지 않음. 모순.
4.집합 I_k의 무한대가 될 수 있는 덮개를 가져다가 I_k의 콤팩트함에서 X의 열린 덮개를 선택할 수 있음. I_k의 유한 열린 덮개의 합을 덮개로 삼겠다. 우리는 이미 유일한 유한 부분 덮개를 선택했음.
I_k는 비어 있지 않으며 단일 하위 커버가 없으므로 m보다 큰 m'을 선택할 수 있음. 모순.

이런식으로 콤팩트성을 증명할 수 있다.

그리고 하우스도르프임은 한방향만 증명해도 된다.
어짜피 하우스도르프 공간의 부분집합은 하우스도르프이고, 하우스도르프 공간의 유한 합집합은 하우스도르프여서 cell들은 하우스도르프 공간이고, 그들의 유한 합은 하우스도르프 공간이다.


이로서 (1)의 증명은 끝난다.

올바른 구조의 정의가 이래서 중요한 것 같다.

읽어줘서 고맙다.