S^1이 R^2상의 unit circle이고 S^2가 R^3상의 unit sphere 일때
모든 continous map f:S^1 \rightarrow S^2가 non-surjective하고 continuous한 g:S^1 \rightarrow S^2
와 호모토픽하다를 어떻게 보여야 할까요? g랑 호모토피를 어떤식으로 설정해야될지 감이 안잡힙니다...
문제 자체가 S^2가 simply connected 하다를 보여야 하는데
S^2\{p} (p는 sphere상의 임의의 점) 랑 R^2가 homemorphic하고 g가 nulhomotopic 하다는건 보였습니다.
위 문제만 풀면 f가 nulhomotopic해서 S^2가 simply connected하다를 보여줄수 있을것 같은데
잘모르겠네요.
힌트나 도움주시면 감사하겠습니다.
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Path의 정의때문에 헷갈린듯하네요. 아직 제가 배운건 I 에서 X로 가는 continuous map만 패스라고 배웠는데 어차피 S^1이 I의 quotient space니까 상관없겠네요
모든 패스에 대해 호모토피류가 자명하다는것도 아직 non - surjective문제 때문에 해결이 안되지 않나 싶은데.. 내 기억에 저 non-surjective 해결하려고 뭔가 북극점 남극점 나눠서 조작하는 과정이 있었던것 같아서.. 근데 워낙 유명한 문제라 영어로 검색하면 나오지 싶은데
밑댓글 처럼 르벡 수 보조 정리 사용하면 되겠네요. 감사합니다.
윗 댓글 보고 기억난건 S^2의 open cover {A,B} (각각 북극점, 남극점 제외 시킨애들) 에 대해서 르베그 수 보조 정리 적용하면 f가 유한개의 대원 지나는 path들의 union을 image로 갖는 map과 homotopic함을 볼 수 있고 이 map은 non-surjective continuous함 틀린 부분은 있으면 양해좀요
보조정리 사용해서 도메인을 제한한 유한개의 non surjective function으로 나눈다음에 pasting lemma로 continuity보이면 되겠네요 감사합니다.