[대학교이상] 아이디얼 질문

[익명(118.221)]

Z[x]/<x^2 -x , 3x+7> 이 Z_7 x Z_10과 동형이라고 하는데 어떻게 보여야 할지 잘 모르겠습니다.    I= <x>  J=<x-1> K =<3x+7> 이라고 하면 <x^2-x ,3x+7>= IJ+K = (I+K)(J+K)이고  Z[x]/<x^2 -x , 3x+7> 는 Z[x]/(I+K)(J+K)인데 이것을 어떻게 조작해서 Z_7 x Z_10과 동형임을 보여야하는지 질문드립니다! 

[뇨뷰512로져2(edit9959)]

중국인의 나머지 정리를 쓰고

[뇨뷰512로져2(edit9959)]

다항식환의 몫환 각각 Z/7Z와 Z/10Z와의 동형성을 보이면 됨

[익명(118.221)]

답변 감사합니다

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[뇨뷰512로져2(edit9959)]

Z[x]/(I + K) \to Z/7Z는 f(x) \to (f(0)+f(-7/3))로 생각하고 Z[x]/(J + K) \to Z/10Z는 f(x) \to (f(1)+f(-7/3))로 생각해보셈. 그럼 이게 전사인 거는 당연하고, 단사인 거는 f(1) + f(-7/3) ≡ 0 (mod 10)이면 f(1) ≡ -f(-7/3) (mod 10)이니까 f(x) mo

[뇨뷰512로져2(edit9959)]

d I는 -f(x) mod K와 합동이고, f(x) mod (I + K)는 0과 합동이란 결론이 나옴.

[뇨뷰512로져2(edit9959)]

나머지도 똑같이 하면 됨

[익명(118.221)]

답변 감사합니다. 중국인의 나머지 정리를 쓸 때 I+K에 있는 원소 한개와 J+K에 있는 원소 한개를 더했을때 1이 되는 두 원소가 존재해서 나머지 정리를 쓸 수 있는 거죠?? 동형사상 잡아서 해결해야하는지 질문하려 했었는데 답변 주셔서 감사합니다.

[익명(104.28)]

9(x^2-x)-(3x-10)(3x+7) = 70, (x^2-x, 3x+7) = (x^2-x, 3x+7, 70) = (x^2-x, 70, x-21) = (70, x-21), Z[x]/(x^2-x, 3x+7) ~= Z[x]/(70, x-21) ~= Z/70Z[x]/(x-21) ~= Z/70Z ~= Z/7Z x Z/10Z

[익명(118.221)]

답변 감사합니다