행렬의 곱셈 AB를 정의하기 위해서, 먼저 행렬 A와 열벡터 x의 곱셈의 정의를 만듭니다.
다음과 같은 선형계가 있을 때
행렬로 다음과 같이
또는
와 같이 표현할 수 있으니
다음과 같다고 하면
행렬곱 Ax를 다음과 같이 정의하자는 것입니다.
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이제, 행렬곱의 한 쪽이 열벡터가 아니어도 되는, 좀 더 일반적인 행렬곱 AB의 정의로 넘어갑니다.
열벡터와의 곱 Ax는 선형계를 만족하도록 행렬곱을 정의하였지만, 일반 행렬곱 AB는 다음의 결합법칙이 성립하도록 행렬곱을 정의하더라구요.
A(Bx) = (AB)x
일단, 행렬 B의 열벡터가 b_1, b_2, ... b_n이라 하였을 때, Bx는 다음과 같고
따라서 A(Bx)가 다음과 같으니
A(Bx) = (AB)x 가 성립한다고 가정하면
AB의 열벡터들이 다음과 같고
이것으로 다음과 같은 AB의 정의가 완료됩니다.
여기서 진짜 질문 시작....
행렬곱 AB의 j번째 열은 무엇이냐? 하면 바로 위의 AB의 정의로부터 다음을 알 수 있습니다
(여기서 c_j는 j번째 열벡터를 가리키는 표기)
그런데 행렬곱 AB의 i번째 행은 무엇이냐? 하면 위에 줄줄이 달아놓은 정의로부터 구할 수가 없는 것 같습니다....
답은 다음과 같다는데... (여기서 r_i는 i번째 행벡터를 가리키는 표기)
만약 위의 과정처럼 유도해내려면 다시 선형계부터 시작해서 그걸 행렬로 표현하고,
행렬 A와 열벡터 x의 곱 Ax를 정의했던 것처럼
행벡터 x와 행렬 A의 곱 xA를 정의하는 것 부터 시작해야 할까요?
감사합니다...
(참고 자료 : 하워드 안톤 최신선형대수)
이미 해논게 있으면 Transpose 쓰자
답변 감사합니다. 좀만 더 자세히 설명 가능할까요?
감사합니다.
글쓴 것과 같은 방식으로 하니 돠긴 했는데... 역시 번거롭네요. 선형계를 행렬로 표현할 때 계수 행렬은 전치해놓고 x_1,x_2,...,x_n과 b_1,b_2,...,b_n은 열벡터가 아니라 행벡터로 표현한 다음에 처음에 열벡터 x에 대해 Ax=B를 정의하는 게 아니라, 행벡터 x에 대해 xA=B를 정의해서 (xA)B = x(AB)가 성립함을 이용.
해서 A의 행벡터 a_1, a_2, ..., a_n에 대해 AB = [a_1B / a_2B / ... / a_nB] 꼴의 열벡터가 되게끔...(슬래시 / 는 개행)
아니그냥 ri(AB) = [ri(Ab1) ... ri(Abn)]이니까 Ax의 정의에서 한 열만 보면 ri(Abj) = ri(A) * bj 이제 정의를 잘 생각하면 당연히 ri(AB) = ri(A) * B