오늘은 내가 해석학 책들을 가져왔다. 차례차례 상세한 풀이와 리뷰처럼 세세한 글들은 기회가 된다면 가져와 보겠다.
GTM보다 훨씬 나은점은, 이런 빨간책들은 대체적으로 부당하다는 생각이 들 일이 거의 없다는 것이다. 최근에 경제학으로 박사를 따는 것으로 목표를 변경해서, 해석학이나 미분기하학 분야의 서적들을 빼고는 그렇게 고심하며 볼 일이 없었다. 최근에는 리만기하학, 사교기하학, 비가환 기하학, 바나흐 기하학, 미분위상수학, 리 군론이란 5개의 기하학 책들 중에서, 사교기하학을 빼고는 어느정도 연습문제가 풀린 것 같기 때문에 과감하게 리뷰해 보도록 하겠다.
이 책들은 형식을 구축하는 설정놀이의 뇌절을 경험할 일이 대수학에 비하면 아주 적다. 그렇기에 계산과 같은 내용들은 저자가 직접 해 준다는 장점이 있고, 테크니컬하다는 해석학의 특성 때문에 아이디어에 의존한다는 느낌 보다는 테크닉을 숙련한다는 느낌으로 독해하는 게 좋다. 답지는 내가 다 만들면 파일 형식으로 여기에다 올려둘 테니 참고해라. 아무튼, 순수 해석학 중에서는 미적분학, 해석개론, 실해석학, 측도론, 복소해석학, 함수해석학, 조화해석학, 카오스 이론, p진 해석학, 해석적 정수론, 작용소 이론, 미분방정식론 까지 정주행해본 경험이 있으니, 믿고 참고해 주었으면 한다.
*저는 불친절한 책이 무조건 최고라고 말하는 게 아니라, 스스로를 갈궈서 자발적으로 얻은 지식이 양질의 지식이라고 이야기하고 싶은 것 뿐입니다. 그리고, 창조적 책읽기라는 말의 의미는 얼어죽을 창의력 따위를 말하는 게 아니라, 모든 내용을 하나의 양식으로 통합하려는 시도를 의미합니다. 그러니까, 단순 암기보다는 내용 안의 모든 맥락과 기법의 사용 목적을 공통 원인으로 통일하려는 시도를 지속적으로 해 나가며 얻는 것이 좋다는 의미입니다.*
<미적분학>

▪+Thomas: Calculus... 엄밀하지 못하다는 것이 루딘을 공부할 때에 큰 보완점으로 작용한다. 그러니까, 루딘의 pma가 이 책의 모든 내용을 하나의 공통 원리로 통합한다는 의미이다. 해석학과 미적분학을 비교해가며 읽으면 좋을 것이다.

<해석학 개론>

▪+Rudin: PMA... 대단한 분이시다. 테크닉이 잘보이게 쓰여 있으며, 세심한 배려가 돋보이는 책이다. 처음 읽을 때는 건조하다고 생각했는데, 중딩때 매일 성경마냥 읽고 살다가 보니까 "이 선생님께선 일부러 수월한 기술들을 썼구나..."라는 것을 뼈저리게 느낀 적이 있었다. 예를 들어서, 유한집합은 모든 거리공간의 닫힌집합임을 대략 "유한집합의 점들 중 중심을 p로 잡고 잡힌 점과 p와의 거리가 최소인 점 만큼의 반지름을 가지는 열린 공을 축소하면, 결국엔 적어도 하나의 점이 그것의 경계에 걸치게 되어, 닫힌집합이다." 라는 논리와, 가산 또는 유한집합의 합집합이 가산또는 유한임을 보이는 "S가 비가산이라 가정 => 가산집합의 원소들끼리 대각선으로 배열하여 그걸 시뮬레이션 해보면, 겹치는 원소가 두 부분 가산집합에 존재할 때에, 부여된 순서가 번호 하나에서 중복된다. 모순." 그리고 이걸 계량하여 가산집합들의 합집합을 대각선으로 배열한 뒤에, 몇개의 가산집합들을 골라서, 특정 첨수 뒤로부터는 전부 지워버린다면 가산집합들과 유한집합들의 합집합이 되는 등의, 여러가지 대단한 논법들을 몸소 경험해보고 나서는, 그 논법을 요긴하게 잘 쓰고 있다. 가산집합임을 판별하거나 하는 일, 혹은 거리공간 안에서 고립점임을 보이는 일에 잘 이용하고 있다. 추가로, 감마함수, 삼각함수를 다루는 테크닉은 logf =: p(x)의 성질을 (p(x+1) = p(x) + logx, convex)이용하거나 구간을 차이값이 1인 두 자연수로 제한하고 두 자연수값 로그 사이 부등식을 끌어낸다거나, 그 뒤에 연속성을 이용해서 중간값 정리를 쓴 뒤에 미분값을 구하는 등, 갖가지 함수 구조를 이용해서 값을 구하는 방식이 일관된 전제 안에서 작동한다. 어떤 때에는 s_N이 코시 수열이란 성질을 쓴다거나 해서, 문제를 훨씬 간단하게 만들기도 함. 선형대수학 테크닉, 또 자코비안으로 미분을 변수에 관계없이 만든다거나 하는 과정을 다양한 정리 안에서 일관되게 시범을 보인다든지 하는 모습은 루딘옹의 인심을 느끼게 해 준다. 최고의 명작이자 해석학의 정석.

<실/복소해석학>

▪+Rudin: RCA... 루딘의 저서들은 설명 방식, 게다가 표지까지도 적당히 캐주얼하고 고급스럽다. RCA도 마찬가지임. 오개념을 최소화하기엔 글만으로는 한계가 있는 단계이므로, RCA는 조금 더 불친절하다. 한번씩 생략된 부분들이 보이긴 하는데, 방법론들은 세가지의 간접증명에 불과하므로, "머리를 불사르면" 풀어낼 수 있다. 여기서는 같은 문제를 여러가지 논리로 풀어낼 때에 머릿속에 유형화가 된다. 이거는 남들이 고등학교 3학년일 때, 나혼자 미국에서 유학중이었던 4년중 1년의 외로움을 달래 주었다. 이거는 단순히 테크닉을 일관된 방법으로 사용하는 게 아니라, pma보다는 논리적인 순발력을 요구하므로 조금 더 발전적으로 생각해야 함.

특히 인상적이었던 테크닉은 pma의 깔끔한 사고방식이 그대로 응용되었던 것. 마치 예술작품과도 같았다. 빡빡하니까 글자 하나씩 내재된 논리에 집중하는 분석적 독해를 추천한다.

<함수해석학>

▪+Rudin: FA... RCA보다 훨씬 빡빡하다. 그냥 대수학 자체와 다름이 없어서 논리적인 순발력으로 돌아간다. 대딩때 이거 읽고 슬럼프가 와서, 콘웨이로 노선을 갈아탔다. 그래서 요즘 다시 집어들고 읽는 중인데, 이제보니 체감상 랭을 읽는 것보다 약간 "메마른 사막에서 요리 재료 찾아내기"를 하는 느낌이 강함.

그렇지만 좋은 책이다. RCA보다는 질이 떨어져서, 조금 시간을 많이 두고 읽자. 시간 많을때 읽기를 추천한다.

겨우 어제 다 읽어서 감히 리뷰하기는 어렵디.

▪+Fleming: Isometries in banach spaces: 이건 모노그래프이긴 한데, 비교적으로 친절해서 써재껴 봄.

함수해석학이 루딘만으로 채워지지 않는다면 이거를 보고 쓰면서 달달 외우면 된다.

<조화해석학>&<푸리에 해석학>

▪+Rudin: fourier analysis on groups...조화해석학, 그리고 푸리에 해석학의 조화가 돋보인다. 좀 비주류인 교재는 맞긴 함. 조화해석학적인 관점으로 푸리에 해석학을 바라보는 게 마음에 들었다.

▪+Folland: A course in harmonic analysis... 비가환군 위에서 쓰인 내용들도 많고, 여러모로 어딘가 마이너한 느낌도 있다. 하지만, 책의 구성이 빌드업 느낌이 강한데다, 증명의 퀄리티가 높다. 적당히 친절함. 그리고 독자에게 시킬 거는 시키고, 함수해석학 형식으로 함수를 조작하는 실력이 필요하다. 함수해석학을 보고 들어오는 것이 낫다.
<p진 해석학>

▪+Murty: 나를 감동시킨 책이다. 절묘하게 장착되어진 체론의 형식이 너무나도 낯설었지만, p진체의 세계에서 존재하는 해석학적인 구조가 너무나도 감동적이었음. 함수해석학의 필요성을 느끼게 해 주었던 것 같다.
<해석적 수론>

▪+클레이 수학 연구소 공저: 대학원에 가기 전에, 군대에서 겨우 완독한 책이다. 내가 이해했다고 말하기에는 양심에 찔릴 정도로 어려웠다. 그냥 논문집이다. 연구자들은 무조건 읽어라.
<카오스 이론>

(아직 읽는 중...)
<측도론>

▪+Salamon: 겨우겨우 어제 다 읽어서, 그닥 잘 익은 지식은 아님. Haar measure까지 들어 있어서, 바나흐 기하학을 이해하기 위한 준비운동 삼아서 읽기를 추천.
<미분방정식론>

(스트랭은 너무 쉬워서 생략)
<미분위상수학>

▪+Hirsch: 아이디어에 의존하며 읽고, 그 아이디어가 생긴 발단을 기록하며 읽어라.

▪+Borisovich: 질좋은 책이긴 함. 너무 옛날 책이라서 용어 삐꾸가 있긴 한데, 그것만 빼고는 명저임. 허시를 읽기전에 무조건 읽어라. 허시에서 깨졌다면 이거를 다시 보고 나서 다시 들어가자. 너무 잘 쓰여서 할 말이 없다.... 10점 만점에 10점 주는 책.

<미분기하학 개론>

▪+Salamon: 힌트를 줄거면 제대로 주고, 말거면 그냥 연습문제로 넘기고, 이게 잘 지켜지는 쿨한 책. "m차원 다양체가 아닌 m차원 다양체의 부분 다양체는 열린집합이 아니다."를 그냥 풀라고 주기에, 인트로를 위해서도 꽤나 좋은 책이다. 하지만, 나는 이 책을 루딘에서 썼듯이, 테크닉을 만들고, 테크닉을 암기하고 대입하고 계량하는 것으로 이해했다. 미분기하 특성상, 선형대수학적 색채가 꽤 강하기 때문에, 구조가 그렇게 많지도 않으므로, 깡다구와 암기가 공존하는 공부법을 위에서 말한 것 처럼 지키며 보기를 추천함.
케이스에 맞게 대상의 형식변환을 해가며 문제를 풀어내는, 암기를 전제한 테크닉 위주로 독해하자. 단, 문제는 다른 참고자료 아무것도 안 보면서 스스로 풀어내는 게 맞다.


<리만기하학>

▪+Petersen: 말이 필요없다. 너무 친절해서, 계산과정 다 가려놓고 풀어보자. 꿀팁임.

▪+chern: 그 천-사이먼스 정리의 천 맞다. 이 책을 읽는 팁을 주자면, 공통된 기법이 간간히 보일텐데 그거를 전제를 적어놓고 공통된 부분을 전부 모아놓고 쓰면서 외워 보자. 그렇게 읽으면 정말 좋다.

▪+Eisenhart: 무조건 읽어라. 리만기하학 계의 랭이다. 내가 이걸로 입문했다.

<비가환 기하학>

▪+Alain Connes: 날 잔혹하게 때려눕힌 책. K 이론을 알고 들어가서 괜찮았긴 해도, 대수학 기법의 특성상 생략이 많아서 더 짜증난다. 박사들도 어려워하니까. 근데, 내가 감히 이야기할 레벨이 아니다. 겨우겨우 다 떼긴 했어도, 이거를 읽고 한번 슬럼프가 와서 기절할 뻔한 적이 있었다. 교수들도 어려워하는 게 당연한데, 그걸 풀어라는 게 말이 안된다. 그냥 코보디즘 테크닉 정돈 깔고 들어가니까 말이다. 나도 결국엔 "그래서 뭐가 중요한데 ㅅㅂ"라는 말을 하면서 책을 덮었다. 진짜 살ja 직전일 때 책을 덮었기 때문에 죽지는 않았지만, 그래도 그냥 웬만한 실력 아니면 읽지 마라. 솔직히 이해 못해서 할말 없음.

<사교기하학>

▪+Salamon: 형식적으로 사용은 할 줄 알아도, 형식이 너무 복잡해서 이해하지는 못했음. 문제를 풀다 보면 이해되리라 믿는다.

<일반위상수학>

▪+Gaal: 직관적인 번호표까지 그려주심. 굳이 뭉크레스 쓰지말고, 이거 썼으면 좋았겠다.
절대로 테크닉도 안 주고 풀어라며 주는 쓰레기 책은 해석학에 적합하지 않다. 이 중에서 골라 읽었으면 좋겠고, 다들 읽어줘서 고맙다.