벡터공간 V의 부분공간 W를 생각하자. W를 생성(span)하는 서로 다른 (W의) 부분집합 S가 최대 유한개이기 위한 조건을 구하라.
(프리드버그 5판 1.4 17번)
저는 이렇게 했는데요
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(W는 부분공간이므로 W를 span하는 부분집합이 존재한다)
어떤 부분집합 S가 W를 span한다고 하자.
S가 공집합이라면 W는 {0}
S가 공집합이 아니라면 S는 원소를 갖는다.
S의 유일한 원소가 0이라면 span({0})=0이므로, W는 {0}
S의 유일한 원소가 0이 아니라면 S는 0이아닌 원소를 갖는다.
S의 (0이아닌)임의의 원소 s에 대해서, 부분집합 S는, S에서 원소 s만을 cs(c는스칼라)로 대체한 집합과 같은 영역(=W)을 span하므로,
c의 집합인 체 F가 무한하면 S는 무한히 많을 수밖에 없고, 체 F가 유한하다면 ?
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저 미적만 하고 선대 들어왔는데.. 제가 접한 친숙한 체의 예시라고는 다 실수 유리수 이런거니까 유한한 체는 낯설기도 하고 저기서 막혔어요.
체가 유한할때 벡터공간의 원소가 무한한지 유한한지도 감이 안와요. 그게 중요할거같은데..
(진짜 초반부라 벡터공간, 부분공간 linear combination, 선형독립, 선형종속밖에 몰라요)
별내용 아닌데 장황해서 죄송합니다ㅠ
체가 유한하고 기저도 유한집합이면 벡터공간의 원소는 Σxivi 꼴로 나타낼 수 있는데, 여기서 순서쌍 (x1, ..., xn)이 당연히 유한집합이므로 벡터공간 원소도 유한하겠지. 기저가 무한집합이면 기저가 벡터공간의 부분집합이므로 벡터공간도 무한집합일 거고
유한체의 대표적인 예시는 Z/pZ(좀 러프하게 말하자면 소수 p로 나눈 나머지가 같은 정수들을 같은 것으로 취급하기로 한 결과), 그것마저도 헷갈린다면 Z/2Z로 보면 됨. 홀+짝 = 홀 뭐 이런 거 있잖아
체가 유한한 것에서 기저가 유한집합임을 보일수 있나요??
ㄴ얘는 뭔데 헛소리를 이리 당당하게 설파함? - dc App
맞는진 모름 그냥 나도 읽어보고 지금 떠올린거임. 형식적으론 안적고 아이디어만 적어봄. Span(W)=W 라는 사실이 자명함. 그니까 W는 W에 닫혀있음. 우리가 보이고 싶은건 W에서 벡터를 계속 빼낼건데 걔네들이 전부 W를 생성했으면 좋겠음. 이 때 그러한 생성집합이 유한개였으면 좋겠고.
그러면 W에서 일차종속인 원소를 계속 빼내야 하고 그러한 일차종속의 원소를 하나씩 빼낼 때, 이게 유한하다는 뜻이고 말인 즉 일차종속인 원소가 유한해야 한다는거임. 여기서 바로 따라나오는 조건이 기저가 유한해야한다는게 필요함.
따라서 W는 유한차원 벡터공간이어야하고 그 기저를 x_i라고 하면 summation c_ix_i=v_i in W where c_i in F 라고 할 때 그러한 v_i가 유한하기 위해서는 c_i도 유한해야함. 따라서 체 F가 유한해야한다는 조건이 여기서 나옴.
따라서 이러한 조건을 만족할 때 W를 생성하는 서로다른 부분집합 S가 유한개가 됨. 그렇게 일차종속인 원소를 계속 빼낸 각각의 집합에 넘버링을 주면 S는 기껏해야 n개임.
만약 기저가 무한해버린다면, 아마 무한차원에서 기저를 어떻게 정의하는지 배우지 않았갰지만, 그냥 지금까지 배운 기저의 정의에만 따라도 앞선 논의에 따를 때 일차종속인 원소를 다 빼내고 기저에 해당하는 무언가를 빼내기 시작해도 W를 생성해버리니까 S가 결코 유한개가 될 수 없기 때문
선대를 좀 오버하긴 하는데 대수적인 이야기를 좀 하면, 어떤 체F가 주어졌을 때 f : F->F 가는 준동형 사상을 생각해 볼 수 있음. 그러니까 f(a@b)=f(a)#f(b)이런식으로. 그런데 같은 체니까 같은 연산을 부여해도 좋고. 특별히 f(1)을 생각해보면f(1)=f(1^2)=f(1)f(1)이고 f(1)=0이 아니라면 (맞다면 상수함수겠지)
아무튼 f(1)을 포함하고 연산에 대해 닫혀있다면 F의 부분체가 될거야. 그리고 이런 부분체를 소체(prime field)라고 부르는데 소체는 유리수체Q와 동형이거나, 적당한 소수p에 대해 Z_p와 동형이야. Z_12는 시계같이 1=(세줄 석삼모양)13이렇게 밑의 수로 정수를 나눴을 때 나머지가 같으면 구분하지 않고 하나로 간주하겠다는거야.
1학년 1반 1번,... 1학년 2반 1번,... 이런데 1학년 1반 이라는 집합을 마치 하나로 간주한다면 또 다른 수학적 구조가 나오거든. 아무튼 유한체라고 하면 소체 Z_p를 스칼라로 삼는 벡터공간일거고, 유한체라고 하면 그 집합의 크기가 p^{n} 이런 형태일거야.