서론: 솔직히 잊어먹은 종이도 있고 하니까 다 적을 순 없어서 미안하다. 중간중간 스텝바이 스텝으로 증명한 결론이 아니고 그냥 다양체의 일반위상수학적 성질을 이용하는 반칙도 있으니까, 다음에 시간이 된다면 그 사실들의 증명도 딴데다가 적어둘 테니 이 점을 참고하고 읽어줬으면 한다.
문제 1.1:
(I) 항등 사상은 일대일 대응성과 C^infty 속성 때문에 미분 동형 사상임.
(Ii) R^m과 Rv_1 + ... Rv_m은 1-1(성분을 기저 계수로 취함)이고, 선형 함수의 모든 미분이 선형함수이기 때문에 매끄러움
정리 1.1(i): 매끄러운 사상의 합성은 매끄럽다
증명:
f: X -> Y와 g: Y -> Z가 매끄러운 사상이라고 하자. 우리는 g o of: X -> Z가 매끄럽다는 것을 보여주고자 한다.
x가 X의 임의의 점이라고 하자. f가 매끄럽기 때문에, X에서 x의 열린 근방 U가 존재하여 f|U가 매끄럽다. 마찬가지로 g가 매끄럽기 때문에, Y에서 f(U)의 열린 이웃 V가 존재하여 g|V가 매끄럽다.
이제 구성 g o f|U: U -> Z를 고려해 보자. 이 사상은 두 매끄러운 사상 f|U와 g|V의 삽성이므로 매끄럽다. x가 임의로 정해진 점이었으므로, 이는 g o f가 X 전체에서 매끄럽다는 것을 보여준다.
Theorem 1.1 (ii):선형 사상은 매끄러움.
증명:
f: R^m -> R^n을 선형 사상이라고 하자. 우리는 f가 매끄럽다는 것을 보여주고자 한다.
x를 R^m의 임의의 지점이라고 하자. f가 선형이므로 f(x)를 행렬 곱셈으로 쓸 수 있다.
f(x) = Ax
여기서 A는 n x m 행렬이다. A의 항목은 R^m의 좌표에 대한 f의 편미분이다. 이러한 편미분은 상수이므로 매끄럽다.
문제 1.2:
증명:
M이 R^n의 부분집합이라 하자. M의 상대적 위상에 대해 다음 속성이 성립함을 보여야 한다.
* 공집합과 M은 모두 M에서 열려 있다.
* 공집합은 R^n에서 열려 있고, 열린 집합과 M의 교집합은 항상 M에서 열려 있다. 따라서 공집합은 M에서 열려 있다.
* M은 R^n에서 열려 있고, 열린 집합과 M의 교집합은 항상 M에서 열려 있다. 따라서 M은 M에서 열려 있다.
* M의 열린 집합의 모든 집합의 합집합은 M에서 열려 있다.
* {U_i}가 M의 열린 집합의 집합이라 하자. 그러면 각 U_i에 대해 U_i = V_i ∩ M인 열린 집합 V_i가 R^n에 존재한다.
* V_i의 합집합은 R^n에서 열린 집합이다.
* V_i의 합집합과 M의 교집합은 U_i의 합집합이다.
* 따라서 U_i의 합집합은 M에서 열려 있음
* M의 모든 유한한 열린 집합의 교집합은 M에서 열림
* U_1, ..., U_n이 M의 유한한 열린 집합. 그러면 각 U_i에 대해 U_i = V_i ∩ M인 R^n의 열린 집합 V_i가 존재함
* V_i의 교집합은 R^n의 열린 집합임
* V_i의 교집합과 M의 교집합은 U_i의 교집합입니다.
* 따라서 U_i의 교집합은 M에서 열려 있음
* M의 열린 집합의 여집합은 M에서 닫혀 있음
* U가 M의 열린 집합이라고 하자. 그러면 R^n에 열린 집합 V가 존재하여 U = V ∩ M이 됨
* M에서 U의 여집합은 M U = M (V ∩ M) = (M V) ∪ (M M) = M V임
* M V는 R^n에서 닫혀 있고 닫힌 집합과 M의 교집합은 항상 M에서 닫혀 있음
* 따라서 M에서 U의 여집합은 M에서 닫혀 있음
문제 1.7: 연습문제 1.7은 k-부분다양체의 정의에 따라 자명하다.
k-부분다양체는 차원 k의 다양체 자체인 다양체의 부분 집합임. 따라서 R^m의 부분 집합 M이 k-부분다양체이면 M은 k차원 다양체임. 즉, M의 모든 점 p에 대해 p와 미분 동형 사상 f: U -> V를 포함하는 M의 열린 집합 U가 존재하며, 여기서 V는 R^k의 열린 부분 집합.
M은 R^m의 부분 집합이므로 V를 R^m의 열린 부분 집합으로 간주할 수 있습니다. 따라서 M은 R^m의 열린 부분 집합.
문제 1.8:
정리: M subset R^m이 m-다양체인 것은 오직 m차원 유클리드 공간에서 열린 집합인 경우이다.
증명:
* M이 R^m에서 열린 집합이면 M은 m-다양체이다.
p를 M의 임의의 지점으로 하자. M이 열려 있으므로, 반지름 r > 0인 p를 중심으로 하는 열린 공 B(p, r)이 존재하며, B(p, r)은 M에 완전히 포함된다. B(p, r)에서 자기 자신으로의 항등 사상은 R^m의 열린 부분 집합으로의 위상 동형 사상이다. 따라서 M의 모든 지점은 R^m의 열린 부분 집합과 위상 동형인 이웃을 가지므로 M은 m-다양체가 된다.
* M이 m-다양체이면 M은 R^m에서 열린 집합이다.
p를 M의 임의의 점으로 하자. M은 m-다양체이므로 p와 위상동형사상 f: U -> V를 포함하는 M의 열린 집합 U가 존재한다. 여기서 V는 R^m의 열린 부분 집합이다. f는 위상동형사상이므로 연속이고 연속 역을 갖는다. 따라서 f(U)는 R^m의 열린 집합이다. p가 U에 있으므로 f(p)는 f(U)에 있다. 따라서 f(U)는 f(p)를 포함하는 R^m의 열린 집합이다. f는 연속이므로 f^-1(f(U))는 p를 포함하는 M의 열린 집합이다. 따라서 M은 R^m의 열린 집합이다.
따라서 M subset R^m이 m-다양체인 것은 오직 m차원 유클리드 공간에서 열린 집합인 경우에만 가능하다.
문제 1.9:
정리: M_1과 M_2를 각각 k_1과 k_2 매니폴드라고 하자. 그러면 M_1 x M_2는 k_1 + k_2 매니폴드이다.
증명:
(p_1, p_2)를 M_1 x M_2의 점으로 하자. M_1과 M_2는 매니폴드이므로 각각 p_1과 p_2 주위에 차트 (U_1, phi_1)과 (U_2, phi_2)가 존재한다. 즉, U_1은 p_1을 포함하는 M_1의 열린 부분집합이고, U_2는 p_2를 포함하는 M_2의 열린 부분집합이며, phi_1: U_1 -> R^k_1은 미분 동형사상이고, phi_2: U_2 -> R^k_2는 미분 동형사상이다.
U = U_1 x U_2와 phi: U -> R^k_1 x R^k_2를 phi(x_1, x_2) = (phi_1(x_1), phi_2(x_2))로 정의합니다. 그러면 U는 (p_1, p_2)를 포함하는 M_1 x M_2의 열린 부분집합이고 phi는 미분 동형사상임. 따라서 M_1 x M_2는 k_1 + k_2 매니폴드임.
사드정리(boss 1):
$D_i$가 $i$차 미분을 0으로 만드는 열린 집합이라고 가정한다.
$D_i - D_{i+1}$의 각 점 $p$의 이웃 $V$가 $F(V cap (D_i - D_{i+1})$의 측정값이 0임을 보여주기에 충분함. 이는 $F(D_i-D_{i+1}}$가 이러한 근방 상당수에 의해 계수 가능성의 두 번째 공리에 의해 커버될 수 있기 때문에 $f(D_i-D_{i+1}$의 측정값이 0임을 증명할 것임.
$p in D_{i+1}$이면 $D_i$에서 사라지는 $f$의 $i$차 미분, 예를 들어 $g$가 있지만 자코비안 행렬 $J(g)$는 $p$에서 0이 아님. 그런 다음 $g$의 일부 부분 미분이 $partial g/partial x_1$이라고 하면 $p$에서 0이 아님. 지도 $h : U to mathbf R^{n}$에 $h(x) =(g(x)), x2,...,xn)$. h의 자코비안은 p에서 singular이 아니며, 따라서 $h$는 역함수 정리에 의해 p의 근방 V를 $mathbf{R}^n$의 열린집합 $W$에 미분 형태로 사상한다. $F : V to R$의 임계점 집합은 $J(f)$가 $D_i $에서 0이 되니까 $V cap (D_i - D_{i+1})$임. 따라서 $h^{-1}$는 미분값이기 때문에 구성 $k = f ◦ h^{-1} : W to mathbf{i +1}$의 임계 집합은 $h(V cap (D_i - D_{i+1})$이다. 그러나 $h(V cap (D_i - D_{i+1}})= (0 mathbf R^{n-1}) cap W$의 임계점 집합이기도 하며, 이 집합은 제한 $k'= k|(0 times mathbf R^{n-1}) cap W에 대한 Sard의 정리는 참임. 따라서 $k'(0 times mathbf R^{n-1}) = f ◦ h^{-1} (0 times mathbf R^{n-1} cap W) = f(V cap (D_i - D_{i+1})$은 측도값이 0. 각 $V cap (D_i - D_{i+1})을 합집합하면 0을 얻으므로 사드정리는 참이다.
문제 1.17: V: R^n -> R을 매끄러운 함수로 하고 해밀토니안 함수 H: R^2n -> R을 H(q,p) = (1/2)|p|^2 + V(q)로 정의함. c가 H의 정규 값인 것은 오직 V의 regular value인 경우다.
증명:
H의 미분이 점 (q,p)에서 전사인 것은 오직 q에서 V의 미분이 전사인 경우
c가 H의 정규 값이라고 가정. 즉, H(q,p) = c인 모든 (q,p)에 대해 H의 (q,p)에서의 미분인 DH(q,p)는 전사.
H의 미분은 다음과 같이 계산할 수 있음
DH(q,p)(v,w) = <w, w> + DV(q)(v)
여기서 <w, w>는 w와 w의 점곱이고, DV(q)는 q에서 V의 미분.
이제 DV(q)가 전사가 아니라고 가정한다. 즉, DV(q)(w) = 0인 0이 아닌 벡터 w가 존재한다는 것을 의미한다. 그러면 모든 v에 대해 DH(q,p)(v,w) = <w, w>가 됨. w가 0이 아니므로 <w, w>가 0이 아닌 v를 선택할 수 있음. 이는 DH(q,p)가 전사라는 가정과 모순. 따라서 DV(q)는 전사여야 함.
역방향:
이제 c가 V의 정규 값이라고 가정합니다. 즉, V(q) = c인 모든 q에 대해 q에서 V의 미분인 DV(q)는 전사임.
DH(q,p)가 H(q,p) = c인 모든 (q,p)에 대해 전사임을 보여주고자 한다. y가 임의의 실수라고 하자. DH(q,p)(v,w) = y인 벡터(v,w)를 찾아야 함.
DV(q)가 전사이므로 DV(q)(v) = y인 벡터 v가 존재. 이제 w = 0이라고 한다. 그러면 DH(q,p)(v,w) = <w, w> + DV(q)(v) = y이다. 따라서 DH(q,p)는 전사임.
문제 1.18: 일반 선형 군 GL(n,R) = {A ∈ R^(n×n) | det(A) ≠ 0}을 고려한다. 함수 det: GL(n,R) -> R의 미분이 모든 A ∈ GL(n,R) 및 모든 B ∈ R^(n×n)에 대해 d(det)(A)(B) = det(A)tr(A^(-1)B)로 주어진다는 것을 증명하라. 특수 선형 군 SL(n,R) = {A ∈ GL(n,R) | det(A) = 1}이 GL(n,R)의 매끄러운 부분 다양체라는 것을 의미한다..
증명:
우리는 직접 계산을 통해 정리의 첫 번째 부분을 증명할 거임. 또, 그런 다음엔 역함수 정리를 사용하여 두 번째 부분을 추론할 거다.
det의 도함수:
A ∈ GL(n,R) 및 B ∈ R^(n×n)이라고 합시다. 우리는 d(det)(A)(B)를 계산하고자 한다.
행렬식의 미분에 대해 다음 공식을 사용할 수 있음.
d(det)(A)(B) = ∑_(i,j) A_(ij)B_(ji)
여기서 A_(ij)는 A의 (i,j) 여인자임.
또한 행렬의 역행렬에 대해 다음 공식을 사용할 수 있음.
A^(-1) = (1/det(A))adj(A)
이 두 공식을 사용하여 det의 미분을 다음과 같이 다시 쓸 수 있음.
d(det)(A)(B) = ∑_(i,j) A_(ij)B_(ji) = ∑_(i,j) (1/det(A))adj(A)(ij)B(ji) = (1/det(A))tr(adj(A)B) = det(A)tr(A^(-1)B)
이로써 SL(n,R)은 매끄러운 부분 다양체입니다.
역함수 정리를 사용하여 SL(n,R)이 GL(n,R)의 매끄러운 부분 다양체임을 추론할 수 있음.
역함수 정리는 f: U -> V가 열린 집합 U ⊆ R^n과 V ⊆ R^m 사이의 매끄러운 함수이고 Df(x)가 모든 x ∈ U에 대해 전사적이면 f는 국소적 미분 동형사상이라고 이야기한다
지금의 경우, f = det: GL(n,R) -> R을 취할 수 있다. 우리는 이미 Df(A) = det(A)tr(A^(-1)B)가 모든 A ∈ GL(n,R)에 대해 전사라는 것을 보였음. 따라서 역함수 정리에 의해 det는 국소적 미분동형사상이다.
이거는 모든 A ∈ SL(n,R)에 대해 GL(n,R)에서 A의 열린 이웃 U가 존재하여 det: U -> R이 미분동형사상임을 의미함. 다시 말해, det^(-1)(1) ∩ U는 U의 매끄러운 부분다양체이다. SL(n,R) = det^(-1)(1)이므로 SL(n,R)은 GL(n,R)의 매끄러운 부분다양체임.
정리 1.23
ψ0 : Ω0 → U0는 (i)와 같고 ψ0 : U → Ω은 (ii)와 같다.
im dψ0(x0) ⊂ TpM ⊂ dψ(p)^{-1}(R^m × {0}).... (1.2)
(1.2)의 첫 번째 포함관계를 증명하기 위해 0이 아닌 벡터 ξ ∈ R을 선택하자.
m 그리고
다음과 같이 ε > 0을 선택하자.
Bε(x0) := {x ∈ R^m | |x − x0| < ε} ⊂ Ω0.
곡선 γ : (−ε/ |ξ| , ε/ |ξ|) → M을 다음과 같이 정의하자
γ(t) := ψ0(x0 + tξ), |t| < ε/|ξ|.
그러면 γ는 M에서 매끄러운 곡선이며,
γ(0) = ψ0(x0) = p, γ˙(0) = dψ0(x0)ξ임
따라서, 1.22 dψ0(x0)ξ ∈ TpM라는 사실과 같이. (1.2)의 두 번째 포함을 증명하기 위해 벡터 v ∈ TpM을 고정하자. 그런 다음 접공간의 정의에 따라 매끄러운 곡선 γ : R → M을 정의하자. γ(0) = p이고 ˙γ(0) = v임. U ⊂ R
k가 (ii)와 같도록 하고 ε > 0을 선택하여 |t| < ε에 대해 γ(t) ∈ U가 되도록 한다. 그러면 φ(γ(t)) ∈ φ(U ∩ M) ⊂ R^m × {0}
for |t| < ε 따라서 dφ(p)v = dφ(γ(0)) ˙γ(0)(chain rule)
φ(γ(t)) ∈ R^m × {0}.
이는 v ∈ dφ(p)^{−1}(R^m × {0})임을 보여주며, 따라서 (1.2)은 증명됨.
이제 집합 im dψ0(x0) 및 dφ(p)^{−1}(R^m × {0})은 모두 m차원을 갖는, R^k의 부분 벡터 공간이다. 따라서 (1.2)에서 이러한 부분 공간이 일치하고 둘 다 TpM과 일치한다는 것이 도출됨. 따라서 우리 (i), (ii), 및 (iv)를 증명했다.
우리는 (iii)을 증명할 것이다. v ∈ TpM이면 매끄러운 곡선 γ : R → M이 있는데, 여기서 γ(0) = p이고 ˙γ(0) = v입니다. t가 충분히 작으면 γ(t) ∈ U가 되는데,
여기서 U ⊂ R^k 는 (iii)의 열린 집합이므로 f(γ(t)) = 0이다. 이는
df(p)v = df(γ(0)) ˙γ(0) = (chain rule)
f(γ (t)) = 0임을 의미한다.
따라서 TpM ⊂ ker df(p)임은 증명되었다. df(p)의 커널과 TpM은 모두 R^k의 m차원 선형 부분 공간이기 때문에
TpM = ker df(p)임을 알 수 있다.
읽어줘서 고맙다. 1.20은 옛날에 증명했던 종이를 잊어먹어서, 다음에 보여줄 생각이다. 미분기하학을 공부하는 분들은 참고 바란다.
어질어질하노
혹시 미기 해봤음? 개꿀잼인데