를 임의로 정의한 뒤 이 값을 해당 적분 구간 내에서 일반적인 적분(리만 적분 등)으로 무한대로 발산하는 경우에 대해서도 p.v.에 한해서 항상 유한한 값을 이끌어낼 수 있음?
굳이 항상 그럴 수는 없다 하더라도 밑에 제시된 적분 식에 한해선 가능한지 알고 싶음
참고로 위 식은
이 식을 이래저래 변형하면서 얻어낸 적분식인데 정작 1번째 짤 식을 울프람에 돌려보면 Principal Value는 둘째치고 걍 발산한다고만 알려주더라고
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아직 거기까지 진도를 안나간건진 모르겠는데 내가 질문을 명확히 이해한지도 모르겠고 저런 꼴의 적분을 costheta=(e^itheta+e^-itheta)/2 라 두면 (sin도 마찬가지) 단위원 z=e^itheta:=C 에 대해서 Costheta=1/2(z+1/z) 로 바꿔서 대입해가지고 다시 residue 구 풀면됨
Cos n theta의 경우도 마찬가지고 근데 지금 경로가 pi/2 이기도 하고 sin cos다 들어갔으니까 적절히 C를 따라 적분할 수 있게끔 바꿔줘야할 필요는 있어보임.
dtheta=1/iz dz 될거고
그럼 혹시 이와는 별개로 실적분 영역 안에서 맨 위 적분이 수렴하는 경우가 조절 여부에 따라 존재할 수도 있다는 건 어떻게 보일 수 있는거임? 사실 내가 본래 질문했던 요지는 위 적분을 나이브하게 계산하는 과정에서 해당 적분값이 (piln2)/8로 수렴한다고 하다가 아래 적분항 3번째인 (x/cos 2x)를 (pi/2)-t로 적절히 치환하고 난 뒤에 그 적분식을 간략화해보면 값이 되려 발산한다고만 하더라고 - dc App
잠깐 방금 좀 이상한 적분 기법 발견했는데 이거 잘 이용하면 값이 pi ln2로 자연스럽게 도출된다 - dc App