역함수 너무 어려워요...
공부할 수록 더 모르겠어요...
지금 머릿속에서 이것저것 섞여서 혼란스러운 상태라 도움이 필요합니다... 하나라도 답변 주시면 진짜 너무너무 감사합니다
1. g(x)의 정의역에 대해 f(g(x))=x
이 자체로는 f와 g가 역함수 관계라는 걸 확신할 수 없다. 하지만 적어도 g(x)가 f(x)의 일부분(g(x)의 치역에 해당하는 구간)의 역함수라는 건 알 수 있다.
(o/x)
1-1. 그렇다면 g(x)의 치역과 f(x)의 정의역이 같다면 둘은 역함수라고 볼 수 있다.
(o/x)
2. 모든 실수x에 대해 f(g(x))=x일 때 f(x) 혹은 g(x)가 계속 증가 혹은 감소하면 둘은 역함수라고 볼 수 있다.
(o/x)
2-1. 모든 실수x에 대해 f(g(x)=x일 때 f(x) 혹은 g(x)가 일대일 대응이면 둘은 역함수라고 볼 수 있다.
(o/x)
3. f(g(x))=x일 때 f(x)와 g(x)가 역함수일 조건은 g(f(x))=x 외에 또 어떤 게 있나요??
4. 이 문제에서 f(t)와 g(t)가 역함수 관계인 걸 어떻게 알 수 있나요?
앞쪽에 적힌 명제들은 대충 맞는 것 같은데... 모든 x에 대해 (f º g)(x) = x이고 (g º f)(x) = x면 g는 f의 역함수가 맞습니다. 이것 말고도 다양한 방법으로 서술할 수 있습니다. 앞에 적힌 것들도 그 중 일부입니다. 한 가지만 적자면, 함수를 변수에 연결해서만 생각하지는 말기를 바랍니다. 함수는 두 집합 사이를 잇는 특정한 대응들이므로, 예를 들어, 가능하다면 f(x) 대신 f를 함수로 생각하는 것이 좋습니다. f(x)는 x에서의 f의 값이니, f(x)와 g(x)는 역함수 관계라고 말한다면, 엄밀히는 정확한 표현이 아닙니다. 29번 문제는 F는 f(x)=t인 x에서 최대값을 가지니(f는 증가하며 음수를 적분하면 적분이 작아지니까 그렇기도 하고, F를 미분해도 알 수 있습니다),
g의 정의에 따라 f º g는 identity 함수입니다. x=g(t)일 때 f(x)=t니까 f(g(t))=t고, f는 invertible하니까 g는 f의 역함수입니다. 적분은 그대로 변수를 변환해서 구할 수 있습니다.
감사합니다 덕분에 많이 배워가요!!
우선 1번에서 f(g(x))=x 라는것 하나만으로는 f,g가 역함수인지의 여부를 알 수 없음. g(f(x))=x 라는것까지 알아야만 확신할 수 있음. 그 뒤에 g가 f의 정의역 안에서 역함수임을 알 수 있다 이거는 f(g(x)) 라는 함수가 "어디에서" 정의되어있는지를 선언해주는 순간 아무 문제가 없어야함. g의 치역이 f의 정의역 밖으로 튀어나갈까봐 걱정하는 것 같은데, 그런 지점에서는 애당초 f(g(x)) 가 정의가 안되잖음? "g의 정의역에 대해 f(g(x))" 라고 말하면 다 g의 정의역 안에서 f(g(x)) 가 정의되었다는 의미로 이해하고, 그럼 당연히 g의 치역이 f의 정의역안에 쏙 들어가있다고 이해함.
근데 그런 구설수 빼고 님 의도대로 해석하면 맞는말임.
1-1는 o임. g:A->B, f:B->A 라고치자 f(g(x))=x 가 성립하면 그 즉시 f는 전사함수이고, g는 단사함수임. 그런데 g의 치역이 f의 정의역=B 와 같다는건 g가 전사함수라는 조건을 추가해준것이고 그럼 g는 전단사함수가 됨. 그럼 g는 반드시 역함수를 가지고, 그 역함수는 '왼쪽' 역함수인 f와 같은 수 밖에 없음.
2번은 솔직히 잘 모르겠고 2-1 은 맞음. f(g(x))=x fog=x 라는건 f입장에선 '오른쪽 역함수' g를 갖는다는거고 g입장에선 '왼쪽 역함수' f를 갖는다는거임 하지만 함수가 역함수라고 하려면 한쪽이 아니라 양쪽 역함수여야함. 그걸 보여야되는건데,
만약 f든 g든 일대일대응(=전단사함수)라는 조건이 주어지면 그 즉시 f,g는 양쪽 역함수를 갖게됨. 그들을 각각 F, G 라고 한다면 항등함수 id 에 대해 gof =(id) o g o f = (F o f ) o g o f = F o (f o g) o f = F o (id) o f = F o f = id
따라서 f,g 는 역함수를 단순히 가질뿐만 아니라, 그 역함수가 각각 g,f 임을 알 수 있는거지
3번은 조건이 무궁무진하게 많기때문에 다 열거하는건 어려움. 하지만 유효타중 하나는 방금 말했듯 f가 전사, g가 단사함수임을 기억하고 f,g 둘 중 하나라도 전단사함수가 되도록 조건을 부여해주면 그 즉시 서로 역함수 관계가 됨.
4번은 귀찮아서패스
정말 너무 감사합니다!!
댓글을 읽고 추가로 궁금해져서요 혹시 f(g(x))=x일 때 f와 g가 일대일함수면 둘은 바로 역함수 관계 확정인가요 아니면 f의 정의역이 g의 치역보다 크지 않게 g의 치역=f의 정의역이라는 조건이 더 필요한가요? 모든 실수에서 f(g(x))=x 일 때랑은 또 다른 것 같은데...
g:B→A, f:A→B 라고 하자. A,B 는 그냥 임의의 두 집합임. A=B 여도 상관없음. f(g(x))=x일 때 f가 일대일함수(=단사함수)이면 f의 역함수가 g이냐? ㅇㅇ 왜냐하면 앞서말했듯 f(g(x))=x 이면 f는 전사함수(치역=공역) 인데, 네가 여기에 더해 일대일함수(=단사함수) 라는 조건까지 부여해준다면 f는 전단사함수(=일대일대응) 이 되고, 모든 일대일대응은 역함수를 가짐. 그 역함수를 f^(-1)=h 라고 한다면 항등함수 id에 대해 h=h∘(id)=h∘(f∘g)=(h∘f)∘g=(id)∘g=g 이므로 h=g임. 즉, (f의 역함수)=h=g 라는거지.
여기서 아주 중요한 디테일을 말해주자면 g는 f의 "오른쪽" 역함수에 불과했음. 다시말해 f∘g=id 가 성립하는건 확실하지만 g∘f=id 도 성립하는진 몰라. 하지만 h는 어디서 나왔지? f가 일대일대응이라는 사실에서 존재성이 보장되는 "진짜" 역함수란 말임? 얘는 좌,우 양쪽에서 작동하는 f의 역함수임. 즉, f∘h = h∘f = id 를 만족시킨단말이야. 그런데 위 논증 h=h∘(id)=h∘(f∘g)=(h∘f)∘g=(id)∘g=g 에서
h=g를 보였으니 g는 사실 오른쪽뿐만 아니라 왼쪽 역함수이기도 했던거지
하지만 f(g(x))=x 인데 g가 일대일함수이면 f가 g의 역함수이냐? 그건 아니야. 왜냐하면 이것도 앞에서 말했는데, f(g(x))=x 라는 사실로부터 이미 g가 일대일함수(=단사함수) 라는걸 알고있는 상황이거든. 네가 거기다 일대일함수라고 덧붙여봤자 아무의미가 없음. 중복된 조건이잖아. 만약 전사함수(공역=치역) 이라는 조건을 붙여준다면 g가 일대일대응(=전단사함수) 가 되고, g가 (양쪽)역함수를 갖는다는 사실을 알고, 위와 비슷한 논증으로 g의 역함수가 다름아닌 f와 같음을 보일 수 있음.
네가 말하는 조건 (g의 치역)= (f의 정의역) 은 내가 말하는 "g가 전사함수(치역=공역)" 이야. 다시말해 f(g(x))=x 일 때, f가 일대일함수라는 조건, g의 치역이 공역과 같다는 조건 두 조건중 하나라도 추가되면 즉시 f와 g는 서로 역함수관계가 됨. 이건 f,g의 정의역과 공역이 실수전체일때도 마찬가지임.
수학글쓰는게 오랜만이라 너무길게 주절주절썼는데 다시요약하면 ( f(g(x))=x ) + ( f는 일대일함수 ) = ( f,g 는 서로 역함수) ( f(g(x))=x ) + ( g의 치역과 공역이 같음) = ( f,g 는 서로 역함수 )
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