cyclic group 의 automorphism group 은 abelian 이었다는사실!!!!!
f 가 cyclic group G 의 automorphism 이고 g가 그 generator 이면
f(g)=g^k 일거아님????
x가 임의의 G의 원소라치고 x=g^a 라 하면
f(x) = f(g^a) = f(g)^a = (g^k)^a = g^(ak) = (g^a)^k = x^k
이잖음??? 그래서 cyclic group 의 automorphism 은 전부 f(x)=x^k 꼴임!!!!!
그런데 x^(ab)=x^(ba) 잖음!!!!!! 그래서 그걸 사용하면 abelian인게 보여짐!!!
( (f_a) o (f_b) ) (x) = x^(ab) =x^(ba) = ( (f_b) o (f_a) )
이렇게!!!!
사실 abelian 이라는건 좀 별거아닌거같지만
진짜 중요한건 저걸 보일때 Z 의 교환성을 써먹었다는것임!!!!!
그러니까 Aut(Z_n) 은 분명히 뭔가 Z랑 관련이 있는놈일거임!!!
와!!!!!!
근데 실망스러운건
Z_4 에서 f(x)=x^2 이 autormophism 은 아닐테니까
Z/nZ 라고 전부 autormophism 은 아님....
정수론 직관에 따르면 (n,k)=1 이어야 f(x)=x^k 가 automorphism 일거같음!!!
그럼 아마도 Aut(Z_n) 은 Z/nZ 중에서 n이랑 서로소인애들만 뽑아서 곱셈 연산하는 애들이라는 소리임!!!
놀라운건 어차피 automorphism 끼리 composition 한 Aut(Z_n) 이 group 이므로
Z/nZ 에서 n의 서로소끼리 모아서 곱셈연산하는 애들이 군이라는거임!!!!
찾아보니까 걔들을 (Z/nZ)^x 라고 한대!!!!!!
원소개수는 오일러토티 뭐 어쩌구래!!!!
아무튼 중요한것은!!!!
Aut(Z_n)=(Z/nZ)^x 라는거임!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
와!!!!!!!!!!!!!!
꺄아아아아아아아아아아아악!! - dc App
끼에에에에에에에에엑 - dc App
수끼야아아아아악
내가 헷갈려서 그러는데 그냥 당연한거 아님? 사이클릭 섭그룹이 아벨리안 섭그룹인데 그럼 아벨리안 그룹이고 그냥 Z/n 이고 그 aut는 당연히 곱셈 말고 없잖아
abelian이 모두 Z/nZ라면 대수 그냥 헛배운거지
아벨리안 "이고" 음.... 한국말 못하면 영어로 써드려야되나?
많이도 날렸네 인생을 많이 낭비했나보네
그냥 댓삭하시지 졸렬하시네 ㅋㅋㅋㅋ
단순히 automorphism이 곱셈인게 아니라 Aut(Z/nZ)와 (Z/nZ)* 사이에 natural isomorphism이 있는건데? 물론 곱셈군에서 Aut로의 injection이 있다는거면 정수론적인 직관으로 당연해보일 수 있음.
둘이 동형인걸 보이려면 Aut의 원소인 f에서 f(1)로 가는 map을 또 생각해야 되고 이건 대수 처음 배우는 사람한테 자명한 map은 아님
그룹 배운지 좀 되서 잘 기억이 안나는데. 사이클릭이 singly generated 라서 Z/n 이고 Z/n 사이에 map은 generator인 1이 매핑되는곳을 찍는거니 n이랑 서로소여아 하고 서로소여야만 하니까 동일. 이거 아닌가?
쓴이가 뭔가 깨닫고 느낌표 더 많이 찍은 파트로 보면 그쪽은 아니고 aut이 그룹 스트럭쳐로 z/n * 이 되는 부분인데 aut map이 1의 함수값이랑 동일하게 identify 되는 부분을 신기해하는거같음. 직관적으로도 신기하기는 해 ㅇㅇ