high order differential equation의 auxillary equation 공부하다가 high order differential equation 풀 때 repeated root있으면 e^mx 말고 xe^mx도 complementary function에 들어간다고 배웠는데 학부 수준에서는 2th order까지만 증명해주지 nth order에 대해 구체적으로 증명하는 문제가 없어서 조금 시도를 해봤음
조금 시도를 해본 결과
이게 만약 첫번째 식에서 repeated root를 가진다면 두번째 식에서도 repeated root를 해로 가진다는 걸 증명하면 자동으로 풀리는 문제 같은데 여기서 막혀버렸음
명제 자체는 참인 것 같은데 어떻게 증명해야 할지가 모르겠다
먼가 위에 있는 걸 증명하는 방식을 알면 x^2e^mx,...,x^ne^mx도 쉽게 풀 수 있을 것 같은데 내 수준으로는 여기까지가 한계인 것 같다
혹시 학부 수준으로는 못 푸는 문제 같으면 그것도 괜찮으니깐 알려주셈
그 repeated root를 r이라고 두면 위의 방정식은 (m-r)^2[m에대한 n-2차 방정식]꼴이니까 r이 위의 식을 미분해서 나온 아래쪽 방정식의 근이될수밖에
아 그러네 진짜 고맙다
모레 시험인데 이것 때문에 연습 문제가 계속 손에 안잡히고 있었는데 진짜 진짜 고맙다 친구야
x^2e^mx,...,x^ne^mx도 같은 방식으로 풀리네 진짜 땡큐
그냥 중근이랑 다항식 미분하는거 질문이었고 바로 풀렸네. 근데 오 나 미방 배울때 이렇게 해볼 생각 못해봤는데 되게 깔끔한 방법인데? 님 증명 나한테는 좀 신박한듯. 난 귀납법으로만 해서 2,3까지만 하고 그냥 일반적으로는 저렇구나 치고 걍 넘어가서 생각자체를 안해봄. m 이랑 x에 대한 편미분 순서 교환해서 바로 함수적으로 n개 solution찾는거 되게 짧고 간결하고 직관적이네 ㅇㅇ 나 이런 방법은 아예 생각도 안해봄
둘이 동치임ㅇㅇ