실수 R 과 복소수 C가 동형인지 아닌지 보이는건데 ..
안되는거를 어떻게 보임 동형도 안되고 일대일도 안괴 보이는데 문제로 나오면 너무 두덜 주절일듯.
아 연산은 + 임.
내가생각한거는 차원이 다른것 그리고 c에서 존재하는데 R에서 존재하지 않는 해 이런건데
이것도 생각은 하는데 쓰기가 힘들다 ㅠㅠ
안되는거를 어떻게 보임 동형도 안되고 일대일도 안괴 보이는데 문제로 나오면 너무 두덜 주절일듯.
아 연산은 + 임.
내가생각한거는 차원이 다른것 그리고 c에서 존재하는데 R에서 존재하지 않는 해 이런건데
이것도 생각은 하는데 쓰기가 힘들다 ㅠㅠ
R이랑 C를 각각 Q-vector space로 두고 기저를 각각 찾으면 두 기저가 크기가 같아요. (R의 기저를 B라 하면 C의 기저는 B union iB로 잡으면 되는데, B가 무한인 건 당연하고 a가 infinite cardinal이면 2a=a니까) 그래서 두 기저 사이에 bijection을 잡아주고 확장해서 linear map을 만들면
원하는 isomophism이 돼요. 그래서 isomorphic인거 같은데..
이해가 안감 조금 쉽게 해주쉴
구체적으로 어느 부분이요
기저랑. 일대일 대응 부분이여
R이나 C를 Q-vector space로 인지하면(상수곱은 자연스럽게 정의) Zorn's lemma가 기저의 존재성을 보장해 줘요. 그런데 Q가 countable이고 R의 모든 원소가 B의 원소들의 finite Q-linear combination으로 나타나야 하는데, R이 uncountable이니
당연히 B가 uncountable해야 해요. C의 경우도 마찬가지인데, 특히 이 경우에는 방금 잡은 B에 대해서 B와 iB(B의 원소들에 i를 곱한 집합)을 합집합한 게 기저가 되겠죠. 근데 B나 B union iB나 cardinal이 같으니 두 벡터공간 R과 C가 Q-vector space로서 dimension이 정확히 일치해요.
그러니 당연히 두 공간이 Q-vector space로서 isomorphic이고, vector space에 +라는 연산이 있으니 +에 대한 group으로서도 isomorphic하겠죠.
겨울_ 말이 맞다
https://math.stackexchange.com/questions/337084/are-the-groups-mathbbc-and-mathbbr-isomorphic
이거 먼지 모르겟다 ... 쉽게 해주쉴