프렐라이로 대수학 독학하고 있는 타학과생입니다...
문제 푸는 데 지장은 없지만 진짜 너무 헷갈려서 질문합니다
제가 이해한 게 맞는지 확인 부탁드립니다
1. 거의 맨 앞 단원에서 무한의 농도에 관해 간략히 배웠습니다
'더 큰 농도'의 무한도 존재하지만(실수>정수), 얼핏 보기에 그렇지 않아도 같은 카디널리티를 갖는 무한집합들도 있습니다(정수=자연수=홀수...)
2. 이것을 확실하게 보이려면 두 집합 사이의 '전단사함수'를 정의하면 되고, Z와 nZ 사이에 f(z)=nz 등을 만들 수 있으므로 Z와 nZ의 카디널리티는 같습니다
3. 또 f(x+y)=n(x+y)=nx+ny=f(x)+f(y) 가 성립하므로 준동형이 성립하고 덧셈이라는 연산이 주어진 두 군은 동형입니다.
따라서 덧셈군 Z와 nZ는 동형인 군입니다.
4. 군론에서, 동형인 군은 구조가 같으므로 완전히 같은 것으로 봅니다.
5. 그러나 잉여군을 배울 때, G/G는 {e}와 같다는 것을 배웁니다.
6. 하지만 Z/nZ는 Z_n과 동형입니다
???
이상한 부분 체크하기 쉽게 숫자 달아놨어요
감사합니다 _-_
영어로 검색해봐도 'Z와 nZ는 군동형이지만 환동형은 아니다' 까지만 나오더군요
같다는 말이 항상 애매하긴한데 지금은 너무남용한 케이스임 Z안에서 2Z랑 3Z는 abstract한 group으로는 같아도 Z의 subgroup으로는 달라요 납득되나?? - dc App
아 좀 이해 되는거 같아요 감사합니다 유한위수면 문제가 없을텐데 무한이라 좀 헷갈린거 같네요
질문이 뭔데? 뭘 물어보는거야
Z nZ는 동형으로 같고 G랑 G는 완전 같은데 G/G는 {e}면서 Z/nZ는 왜 {e}가 아니냐는 말임
5번의 G/(-)에서 (-)는 G의 normal subgroup에 해당하는 것이 오는 것임. 3번에서 f:Z ~-> nZ를 만들었는데, 정의역 Z의 subgroup인 nZ와 f로 만든 공역의 nZ를 같게보면 안됨
감사합니다!
그냥 동치관계에 대해 잉여류를 취하는건 순전히 집합론적인 연산이라고 생각하셈. 잉여군을 바로 G/H로써 생각할게 아니라 G/~로 본 다음 거기에 자연스러운 군 구조가 들어가걸 G/H라고 생각해보셈
결국 동치류가 실제로 어떤 집합인지 정의에 따라 직접 구해보면 오해도 풀릴거임 Z/nZ={nZ, 1+nZ, ..., (n-1)+nZ} where k+nZ={k, k+n, k+2n, ...}
x~y <=> x-y is in nZ
이해됐습니다 감사합니다
4. 대수에서는 동형인것들을 같은것으로 보긴한다만 이건 절대로 '=' <ㅡ 이 관계가 아니란거 알아둬야함 어디까지나 'isomorphism=동형사상'에 대해서 같단거 아마 이 문제땜에 6번과 같은 의문이 생긴듯?
+ 2에서 3에서의 결과가 나온거면 1~3까진 잘 이해한거임
감사합니다 ㅎㅎ
잉여군이니까 6은 맞고 4가 틀림 일반적으로 H~K라고 해서 G/H~G/K는 성립 안 함
4번에서 같다는 게 완전히 같은 게 아님. 덧셈군 Z와 nZ는 대수적으로는 구별할 수 없지만 집합적으로 분명히 구별이 됨
factor group은 상대적인 걸 보는 거니까. 주어진 group이 큰 group 안에 어떤 방식으로 들어가 자리잡고 있느냐의 문제인거야.
예를 들어 f: Z->Z, f(x)=nx로 두면 f는 Z에서 f의 image nZ로 가는 isomorohism이지만, Z/nZ는 n마다 다 다르지. 똑같은 Z가 f에 의해 Z 안에 서로 다른 subgroup으로 들어가 앉았는게 가능한거야.