PMA 읽고있음. 아직 위상수학을 안배워서 그런가 너무 추상적이게 느껴지는 부분이 있어서 질문해봄
Q1:
2.30 Suppose Y is subset of X. A subset E of Y is open relative to Y iff E = Y (intersection) G for some open subset G of X.
이런 정리가 있는데, 증명도 읽어보면 이해가 가고 정리 자체는 텍스트적으로 이해가 가는데 이게 대체 무슨 맥락에서 나온건지, 무슨 의도를 가진 정리인지 잘 모르겠음
대충 생각하기로는 X에 포함되는 Y라는 metric space가 있을 때, E가 Y에서 open이면 X에서 open인진 모르겠지만 어떤 G라는, E를 포함하는 더 큰 애가 존재해서 open이게 될 순 있다~ 이런거같은데 맞는지도 모르겠고 이게 무슨 맥락에서 나온거지?
Q2:
2.33 Suppose K < Y < X (subset 기호임). Then K is compact relative to X iff K is compact relative to Y.
이 정리가 뭘 말하고 싶은지 대충 생각해봤는데, open이나 closed같은건 어떤 metric space위에서 생각하냐에 따라 맞을 수도 있고 아닐 수도 있잖아? 근데 compact는 그런게 상관 없는 개념이라는거같은데.. 맞는지 모르겠다. 그리고 마찬가지로 이런 compact만의 구별되는 특징이 왜 중요한건지도 잘 모르겠음. 그리고 이걸 증명하기 위해서 위에서 말한 2.30 정리를 쓰던데 2.30 의미를 명확히 몰라서그런지 뇌가 멈춘 기분인데 좀 더 와닿게 설명해줄 수 있는 고수 있음??
1. 저거는 subspace topology의 정의임... 그냥 처음부터 저렇게 세팅이 된거라 받아들이면 되어요 해석학에서 쓰는 Euclidian(R^n공간)의 경우는 metric써서 위상을 잡는데 이 경우 subspace도 그 metric을 고대로 받게 됨 2. Compact는 님 말처럼 외부랑 상관없이 그 자체에 의해 결정되는 개념이긴 함 근데 종종 compact set을 ”그 set이 속해있는 space의 open cover로 덮는 거“ 를 기준으로 정의하는 책들이 있어요 K를 덮는 Y의 open set들을 보는 거죠 저런식으로 상대적이네 뭐네 같은 서술을 굳이 굳이 한걸보면 아마 여기에 해당하는 책인듯 2.
아니 댓글 이어쓰려는데 왜 줄바꿈이 안되지;; 암튼 X의 subset S를 위상을 잡아주는 가장 스탠다드한 방법은 “X의 open set과 S의 교집합” 형태의 집합들을 open set으로 갖도록 “정의“해주는 거임// 책에 별다른 코멘트가 없는한은 앤간해서는(거의 99%는) subset의 위상은 저런식으로 자연스럽게 부여된 상태로 이해하면 됨//그리고 R^n 공간같이 metric으로 위상을 잡아줄 경우에도 subset은 방금 설명한 subspace로 위상을 잡아주는데, 이건 subset에서 metric을 써서 잡은 위상과 일치함
이게 명답이다. + 본문 작성자한테 첨언하자면 그냥 벤다이어그램처럼 그려서 집합론적인 관점 + 성질로 생각해보셈.
수학적인게 아니라 직관적으로 저걸 받아들이는 법을 물어본거니 엉거주춤 설명하겠음 Q1. 알다시피 Q2 증명하는데 쓰려고 튀어나온 정리. -E가 Y에 대해 open이라고 해서 X에 대해서도 open이라는 걸 보장할 순 없다. -그러나, X에서 E와 유사한 따라쟁이? open subset G가 존재한다. 얼마나 비슷하냐면, Y와 intersection을 시키면 E가 튀어나온다. (X-E) (Y-G) 이렇게 대응된다고 생각하면 편함. X에서 E가 오픈 -> Y에서 G가 open (그런 G 존재) 역도 마찬가지로 이해하면 됨. 비슷한 Hierarchy같은게 있다고 생각하샘 - dc App
Q1은 해석학이라는 목적에 맞게 특수한 케이스(거리가 주어진 공간)에 대해 relative top를 정의하고 그게 일반적 정의와 동치라는걸 보인거임. Q2에 대해선 님이 쓴 생각이 정확히 맞음. 컴팩트성이 위상적 불변량이라는 내용ㅇㅇㅇ 증명에 2.30이 쓰이는 이유는 거리에 대해서 굳이 생각하지 않기 위해(이게 일반위상수학의 존재의의같기도 함)
님이 추측한게 암튼 맞음. cpt의 그렁 성질이 왜 중요하냐? 그냥.. 깔끔하잖음. 한번 cpt인애는 어딜가든 cpt임. 가령 X를 더 큰 Z로 확장시켰다 했다고 한다면, 기존에 X에서 open인지 확인했던 집합들이 여전히 open인지 일일히 다시 다 확인해봐야하지만 cpt는 계속 cpt잖음. 왜 굳이2.33을 증명할때 2.30을 쓰느냐? 안그래도 됨. 교재의 정의로부터 거리함수써서 증명해도 됨 하지만 거리함수를 사용하지 않고 집합의 연산만 이용해서 증명하는 이유는 그게 나중에 확장성이 좋기때문임. 나중에 거리함수가 주어지지 않더라도 논리를 진행시킬 수 있으니까. 위상에서 그런식으로 집합론기호만 쓰는걸 좋아함. 님이 본 답안 흉을 보자면, 한마디로 해석학문제인 주제에 위상수학 공부한 티를 굳이 낸거임